En los últimos años han aparecido interesantes aplicaciones de las técnicas del álgebra de operadores y del análisis funcional a la teoría de información cuántica. Por ejemplo, las técnicas de espacios de operadores se han aplicado en el contexto de las desigualdades de Bell, la probabilidad libre ha resultado ser muy útil para estudiar la capacidad clásica de un canal cuántico, y versiones no conmutativas del Teorema de Grotendieck se han empleado para obtener aproximaciones eficientes para ciertos valores de juegos cuánticos.
Una parte importante del trabajo del Laboratorio Marius Junge del ICMAT se centra en esta conexión entre las matemáticas y la información cuántica. En esta línea se engloba el reciente trabajo publicado por Marius Junge (Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, EE UU) y Carlos Palazuelos (UCM-ICMAT) en la revista Advances in Mathematics el pasado mes de febrero. En este trabajo los investigadores han descubierto una conexión, hasta ahora insospechada, entre dos áreas muy activas de la investigación actual: la llamada teoría métrica de productos tensoriales, iniciada por el recientemente fallecido Alexander Grothendieck, y el estudio de las capacidades de los canales, un tema central en la teoría de la información de Shannon. Según esta teoría, la transmisión de información entre un emisor y un receptor está descrita por una aplicación que a cada secuencia de bits (el mensaje emitido) le asigna otra secuencia con una cierta probabilidad (el mensaje recibido).
Esta probabilidad representa el ruido (errores) en la emisión –que puede poner en riesgo la comunicación eficiente. De forma general, un canal clásico se define como una aplicación lineal positiva que preserva distribuciones de probabilidad. Esto es, la acción de un canal no se define exclusivamente sobre las secuencias de bits, sino que también se permite como entrada del canal cualquier distribución de probabilidad sobre dichas secuencias. La capacidad del canal es una relación entre el número de bits transmitidos y el número de usos del canal requeridos (matemáticamente, el número de veces que tenemos que tensorizar el canal consigo mismo) para transmitir esos bits; es un valor asintótico porque se considera cuando el error en la comunicación tiende a cero.
El principal resultado del artículo de Junge y Palazuelos, aunque se refiere a un contexto mucho más general, muestra una bonita relación entre la teoría de la información de Shannon y los operadores p-sumantes –introducidos por Grothendieck– cuando se aplica a canales clásicos. Asegura que la capacidad del canal se puede obtener diferenciando la norma p-sumante del canal, cuando este se entiende como una aplicación lineal entre ciertos espacios de Banach. La teoría de los operadores p-sumantes fue introducida por Grothendieck y, desde entonces, muchos matemáticos la han estudiado de forma exhaustiva como uno de los pilares de la teoría local de espacios de Banach. Estos operadores son aplicaciones lineales entre espacios de Banach cuya norma permanece acotada cuando se tensorizan, de una cierta forma, con el operador identidad sobre espacios Lp .
De hecho, los operadores p-sumantes han resultado ser una herramienta muy útil para estudiar propiedades geométricas de los espacios de Banach, y su relación con la teoría de la probabilidad y el análisis armónico. Recientemente, el matemático Gilles Pisier generalizó la teoría de los operadores p-sumantes al contexto de los espacios de operadores, una versión no conmutativa de los espacios de Banach, a través de los llamados operadores completamente p-sumantes. La propia definición de estos operadores es muy interesante, ya que involucra el uso de espacios Lp no conmutativos y vectoriales, introducidos por el propio Pisier.
Considerando la relación anterior entre los operadores p-sumantes y la capacidad de un canal clásico, es natural plantearse si los operadores completamente p-sumantes pueden tener un papel análogo en la versión cuántica (es decir, no conmutativa) de la teoría de Shannon; esto es, en la teoría de información cuántica. En este contexto se consideran los canales cuánticos, que son aplicaciones lineales completamente positivas entre álgebras de matrices y que preservan la traza.
En este nuevo contexto, uno puede estudiar la capacidad del canal para transmitir información clásica (bits) y también información cuántica (qubits). Es más, en el escenario cuántico aparece un fenómeno sorprendente, llamado entrelazamiento cuántico. Sin entrar en muchos detalles, el entrelazamiento permite que dos sistemas estén correlacionados de manera que, actuando sobre uno de ellos, se puede modificar de forma instantánea el estado del otro sistema.De esta manera, no es sorprendente que el emisor y el receptor de un canal puedan usar un estado entrelazado para incrementar la capacidad de enviar información. En este caso, hablamos de capacidad del canal con entrelazamiento asistido.
El principal resultado del paper publicado en Advances in Mathematics establece que la capacidad clásica de un canal cuántico con entrelazamiento asistido puede ser obtenida diferenciando la norma completamente p-sumantes del canal, cuando éste se considera como una aplicación entre ciertas álgebras de matrices. El trabajo tiende así un puente entre dos teorías muy importantes de la matemática actual que, hasta el momento, estaban desconectadas. Esto permitirá usar las técnicas de espacios de operadores para entender diferentes cuestiones en el contexto de los canales cuánticos. Más aún, abre también la posibilidad de explorar la dirección contraria: cómo las técnicas de la teoría de canales cuánticos se pueden aplicar a la teoría de álgebras de operadores y espacios de operadores.
Sobre los autores:
Carlos Palazuelos (Madrid, 1979), obtuvo su doctorado en Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid (UCM) en 2009. Tras ello, estuvo un año en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign (EE UU), antes de incorporarse al ICMAT con un contrato Juan de la Cierva en el CSIC. En 2013 obtuvo un contrato Ramón y Cajal que desarrolla actualmente en la UCM. Sus principales áreas de interés son el análisis funcional y la teoría de la información cuántica. Gran parte de su trabajo está centrado en las aplicaciones de la teoría de los espacios de operadores (un análogo no conmutativo de la teoría de espacios de Banach) a la teoría de información cuántica; y en particular a la teoría de las desigualdades de Bell, el entrelazamiento cuántico y los canales cuánticos. Parte de su investigación está relacionada con problemas del campo de las álgebras de operadores. Otra de sus líneas de investigación se engloba en el análisis armónico no conmutativo, en particular, sobre la hipercontractividad en las álgebras de von Neuman. Sus trabajos se pueden encontrar en revistas como Communications in Mathematical Physics, Advances in Mathematics, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, Physical Review Letters y Computational Complexity-
Marius Junge (1962, Hannover, Alemania). Doctor por la Universidad Christian-Albrechts en Kiel (bajo la supervisión de Herman König) es actualmente catedrático en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign. Es director del Laboratorio Junge-ICMAT que se puso en marcha con el programa Severo Ochoa. Marius Junge es uno de los mayores expertos mundiales en probabilidad cuántica, teoría de espacios de operadores, análisis armónico no conmutativo y, más recientemente en teoría de información cuántica. Cabe destacar sus aportaciones a los teoremas ergódicos, y de maximal no conmutativo de Doob, así como al programa de Grothendieck para álgebras de von Neumann; la teoría de inclusión Lp en la categoría de espacios de operadores y más recientemente, sus trabajos en multiplicadores de Fourier para las álgebras de von Neumann de grupo; y también en desigualdades de Bell. En el proyecto del Laboratorio-ICMAT, el principal objetivo es incluir la perspectiva de la mecánica cuántica en el contexto del análisis armónico y la teoría de la información. Además, algunos de los problemas que se tratan en el laboratorio podrán aportar nuevas perspectivas al análisis armónico clásico. En relación con la información cuántica, el trabajo del Laboratorio se centra en canales cuánticos, desigualdades de Bell, teoría del entrelazamiento y juegos cuánticos vía espacios de operadores.
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El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) lanza este boletín con el que quiere mostrar a la comunidad científica y a todos aquellos interesados en el avance de esta disciplina la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro. El boletín quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera más amplia, en un centro de excelencia de investigación matemática. Se presentan temas de interés relacionados con la investigación matemática actual, la actividad científica del centro y algunos de los perfiles desatacados de la comunidad científica, presentados para público general con interés por la ciencia. Los autores de estos artículos son los propios investigadores del Instituto u otros matemáticos que colaboren con el ICMAT, además de un equipo especial dedicado a la comunicación de las matemáticas.
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