Cuando la inducción no es el camino más corto... y algo más.

El Principio de inducción matemática es un método que permite demostrar que una cierta propiedad se cumple para cualquier número natural (o cualquiera, a partir de uno determinado). Ya hemos visto algunas cosas curiosas en este blog usando la inducción.
Cuando uno explica este principio en clase, a menudo los alumnos creen que, a partir de ese momento, todo lo que diga "Prueba esto para cada  $n\in{\mathbb N}$" se hace SIEMPRE por inducción. Afortunadamente, éste no es siempre el caso.
En este artículo vamos a ver dos ejemplos de propiedades que, aunque se pueden demostrar por inducción, pueden probarse de una forma más elegante y corta.
El primer ejemplo es un clásico. Demostrar que $n^3-n$ es divisible entre 6 para cada número natural $n\ge 1$.
Por inducción, os lo dejo a vosotros. Pero una prueba más elegante consiste en ver que $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ por lo que $n^3-n$ es el producto de 3 números naturales consecutivos. Por lo tanto seguro que entre ellos hay un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3. Así que seguro que el producto será múltiplo de 6.
Una variante de este problema es demostrar que para cada $n$ impar, $n^3-n$ es múltiplo de 24. Se puede probar por inducción sobre $k$, siendo $n=2k-1$ y $k\in{\mathbb N}$. Pero también se puede tratar de abordar como antes. Ya sabemos que $n^3-n$ es siempre (no sólo para los impares) divisible entre 6 luego, en particular, es múltiplo de 3. Ahora bien, si $n$ es impar, resulta que tanto $n-1$ como $n+1$ son pares y, de hecho, uno de ellos ha de ser múltiplo de 4 (tened en cuenta que en los pares se intercalan los múltiplos 4 y los no múltiplos de 4). Por lo tanto, $(n-1)(n+1)$ es múltiplo de 8 para $n$ impar, luego también lo será $n^3-n=(n-1)n(n+1)$. Así pues hemos demostrado que $n^3-n$ es múltiplo de 3 y de 8, luego ha de serlo de 24.
El segundo ejemplo también es clásico entre las hojas de problemas, lo que ya no había visto antes es la prueba alternativa. La propiedad es demostrar (voy a poner un número cualquiera, pero vale poner el que os dé la gana) que $39^n-1$ es divisible entre 38. De nuevo la prueba por inducción es sencilla. Veamos la alternativa.
Para ello, consideremos para cada $n\in{\mathbb N}$ el polinomio $p_n(x):=x^n-1$. Como $p_n(1)=0$ sea cual sea $n$, el Teorema del Resto (ese que se explica en secundaria) nos garantiza que $p_n(x)$ es divisible entre $x-1$. Y esto es válido sea cual sea $x\in{\mathbb R}$, por lo tanto para $x=39$. Así que $39^n-1=p_n(39)$ es divisible entre $39-1=38$.
Más aún. Esta prueba nos dice que, sea cual sea el número $p\in{\mathbb N}$, resulta que $p^n-1$ es siempre divisible entre $p-1$.
Y como regalo, os dejo que tratéis de demostrar que para cada $n$ impar, $2016^n+1$ es múltiplo de $2017$. ¡Hala!
Y ya para concluir... algo más. ¿Por qué diablos has puesto $39^n-1$? Pues porque tal día como hoy, hace 39 años, un servidor vio la luz del día por primera vez. Vamos que hoy cumplo 39 años. Y este es mi auto-regalo.
Tito Eliatron Dixit
PD1: Queridos alumnos del Grupo 1 de la Asignatura Análisis Matemático del Grado en Física de la Universidad de Sevilla. Si leéis este post antes del lunes, os permitiré usarlo en el trabajo si y sólo si hacéis mención expresa en el mismo a este post. Caso contrario consideraré que habéis copiado.
PD2: Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog “Que no te aburran las M@tes” cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez. 
 
Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit.
Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.
 
SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.