¿Cuánto es 8:2x4 y por qué?

De vez en cuando volvemos con discusiones sobre cuál es la manera correcta de calcular expresiones como 8:2x4. ¿16?, ¿1? Tutití sobre ello hace un tiempo. Recojo aquí el hilo para que no se me pierda.

1. Sobre la operación 8:2x4.

En principio, no tiene sentido por estar mal escrita. Si tenemos una regla para reinterpretarla, podemos resolverla (p.e., operar de izquierda a derecha), pero no deberá ser arbitraria, sino basada en propiedades matemáticas. Veamos.

2. Las operaciones suma, resta, multiplicación y división son binarias. Quiere decir que son operaciones entre dos números. Así, las expresiones 3+4, 8:2 o 2x4 están bien escritas y responden a la definición binaria.

3. La suma de tres elementos o más, p.e. 2+4+5, es una extensión dada porque la suma satisface las propiedades conmutativa y asociativa, de manera que (2+4)+5 = 2+(4+5) = (5+2)+4. Gracias a ello podemos quitar los paréntesis y convenir que escribimos esas expresiones como 2+4+5.

4. Obsérvese que la expresión (2+4)+5 respeta que la suma es operación binaria (primero se suma 2+4, dos elementos, y luego el resultado se suma con 5, otros dos elementos).

5. Podemos hacer lo mismo con la multiplicación.

6. Podemos hacer lo mismo con la resta si entendemos que 9-5-2 significa 9+(-5)+(-2) apelando a la definición de resta como suma del opuesto.

Si no, la expresión no tendría sentido y deberíamos escribir (9-5)-2 o 9-(5-2), según lo que quisiéramos expresar.

7. ¿Podemos hacer lo mismo con la división? La definición de a:b como ax(1:b) (la multiplicación por el inverso) me diría que 8:4:2=8x(1:4)x(1:2). Esto es equivalente a la regla de operar de izquierda a derecha (igual que en la resta).

8. Así, pues, no es que la regla de operar de izquierda a derecha sea arbitraria, sino que es equivalente a usar las definiciones de la resta y la división a partir de la suma y la multiplicación.

9. Todo lo anterior vale para cuando se trata de la misma operación. ¿Qué pasa cuando tenemos operaciones distintas, por ejemplo, sumas y multiplicaciones? ¿Hay alguna razón matemática por la que la multiplicación deba preceder a la suma?

10. Si la hay, yo no la conozco. ¿Algún matemático en la sala? Las expresiones del tipo 1+2x3 deberían escribirse o bien (1+2)x3 o bien 1+(2x3), según qué se quiera calcular y respetando la definición de operación binaria.

11. Si, para simplificar, nos permitimos que una de las dos se pueda escribir sin paréntesis, ¿cuál elegimos?

12. Uno puede pensar que la razón de tener 1+2x3 = 1+(2x3) es que la propia multiplicación ya es una especie de paréntesis: 2x3 = 2+2+2. Es decir, en 2x3 está el resultado de una operación de más de dos elementos recogida en una expresión.

13. Sin embargo esto sigue sin explicar nada, puesto que la otra convención también obedecería a eso mismo: 1+2x3 = (1+2)+(1+2)+(1+2).

14. La razón última de que la multiplicación preceda a la suma es que el tipo de cálculos que solemos hacer evitan así un mayor número de paréntesis. Por ejemplo, todos los cálculos con polinomios.

15. Entonces, ¿ya está? No del todo. Cuando tenemos multiplicaciones y divisiones, a pesar de lo dicho, nuestro lenguaje matemático no siempre respeta el orden izquierda-derecha.

16. Por ejemplo, si escribimos 8/2a, nadie entiende que eso signifique (8:2)xa, sino 8:(2xa). Diréis que hago trampa, puesto que ahora uso / y no : para expresar la división y uso la yuxtaposición y no el signo x para la multiplicación.

17. Eso es cierto, pero, significando lo mismo, no debería alterar el orden. De hecho, no es más que otra convención arbitraria el que la multiplicación expresada como yuxtaposición preceda a la división, como si la yuxtaposición implicara paréntesis.

18. Eso es todo amigos.

En cualquier caso, recuerden: in dubio, pro parenthese.