Cuarta vuelta al Hotel del Infinito (1)

Era la una de la mañana y Jorge y yo estábamos tomando un refresco disfrutando del calor del mes de julio en nuestra capital. Aunque a esas horas lo más adecuado parece ponerse a ligar, ligar es aburrido y siempre lo mismo; así que nos quedamos hablando de Matemáticas, que a esas horas resulta estimulante.
-Oye, Jorge. Siempre se me olvida, ¿cómo se resolvía la tercera parte de la paradoja del Hotel del Infinito?
El Hotel del Infinito es un delicioso problema en tres partes ideado por el matemático alemán David Hilbert que dice así: "Érase una vez en la que decidieron construir el hotel más grande del mundo. Era tan grande, tan grande, que en el hotel había infinitas habitaciones. Su construcción fue una difícil tarea, pero consiguió terminarse."
PARTE UNO
Un día, se encontraban todas las habitaciones ocupadas. Entonces llegó a la recepción un nuevo huésped, pidiendo una habitación para él. Aunque al principio, el recepcionista le dijo que el hotel estaba lleno, más tarde se le ocurrió una estratagema para conseguir alojarlo. Cogió el sistema de megafonía y pidió a todos los inquilinos que se trasladaran a la habitación superior: el que estaba en la habitación 1 debía pasar a la 2; el que estaba en la 2, a la 3; el que estaba en la 3 a la 4. En resumen, el huésped de la habitación "n" pasaba a la habitación "n+1". Con este sistema, se consiguió liberar la habitación 1, que es donde se hospedó este último en llegar.
PARTE DOS
Todo se complicó al día siguiente cuando, estando el hotel de nuevo completamente lleno, llegó a la recepción un autobús que dentro transportaba a infinitos turistas. El método aplicado el día anterior no funcionaba, pero el recepcionista tuvo una idea feliz. Cogió de nuevo el micrófono y pidió a cada uno de los alojados que multiplicara por 2 su número de habitación y se trasladaran a la habitación cuyo número fuera el resultado de la multiplicación. Así, el número 1 se cambió a la habitación 2; el 2, a la 4; el 3, a la 6 y en definitiva el "n" a la "2n". De este modo, consiguió dejar vacías todas las habitaciones impares. Como el número de habitaciones impares es infinito, allí alojó a todos los turistas del autobús.
PARTE TRES
La catástrofe ocurrió al tercer día cuando el recepcionista, encontrándose otra vez el hotel totalmente ocupado, tuvo que alojar a infinitos autobuses con infinitos turistas cada uno.
-Jorge, ¿cómo se resolvía esa parte? -Ahora mismo, aquí, no me acuerdo. Pero creo que estaba relacionado con asignar números primos a los que llegan en los autobuses.
Tras pensar durante un rato y sin conseguir recordar la solución original, Jorge propuso una solución y yo otra diferente. Cada una tiene sus ventajas y sus inconvenientes, pero os dejamos que meditéis el problema un par de días para ver si conseguís aportar un método mejor que el de Jorge o el mío.
Foto: "Everything's bigger III" de MightyBoyBrian.