Cuarta vuelta al Hotel del Infinito (2)

Éstas son las dos soluciones que proponemos Jorge y yo para solucionar la tercera parte del problema del Hotel del Infinito: cómo hacer sitio en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas a infinitos autobuses de turistas con infinitos turistas dentro de cada uno de ellos.
LA SOLUCIÓN DE JORGE
1º Numeremos los autobuses con números primos del siguiente modo:
Autobús 1: 2.
Autobús 2: 3.
Autobús 3: 5.
Autobús 4: 7.
Autobús 5: 11.
2º Entremos en cada autobús y demos un número a cada pasajero de forma que ése número sea una potencia cuya base es el número del autobús y el exponente es un número impar, así:
Autobús 1: 2^1, 2^3, 2^5,… (= 2, 8, 32,…).
Autobús 2: 3^1, 3^3, 3^5,… (= 3, 27, 243,…).
Autobús 3: 5^1, 5^3, 5^5,… (= 5, 125, 3125,…).
Autobús 4: 7 ^1, 7^3, 7^5,… (= 7, 343, 16807,…).
Autobús 5: 11^1, 11^3, 11^5,… (=11, 1331, 161051,…).
3º Hagamos sitio en el hotel. Deben cambiarse de habitación todos los que estén en habitaciones que sean un número primo o una potencia de base un número primo (por ejemplo 2^1, 3^5, 7^6,… (=2, 243, 117649,…)) y cambiarse a la habitación que es el cuadrado de su número (en el ejemplo 4, 59049, 13841287201,…). En este ejemplo, 7^6 debe cambiarse también para hacerle hueco al antiguo huésped 7^3 cuando se eleve al cuadrado ((7^3)^2 = 7^6).
Este método hace que se liberen sólo las habitaciones que van a ser ocupadas por los turistas de los autobuses y las que se necesitan para trasladar a los que ya residían en el hotel, quedando el hotel de nuevo completamente lleno.
LA SOLUCIÓN DE EMILIENKO
1º Numeremos también los autobuses con números primos:
Autobús 1: 2.
Autobús 2: 3.
Autobús 3: 5.
Autobús 4: 7.
Autobús 5: 11.
2º Entremos en cada autobús y demos un número a cada pasajero de forma que ése número sea una potencia cuya base es el número del autobús y el exponente es un número natural (par o impar), así:
Autobús 1: 2^1, 2^2, 2^3,… (= 2, 4, 8,…).
Autobús 2: 3^1, 3^2, 3^3,… (= 3, 9, 27,…).
Autobús 3: 5^1, 5^2, 5^3,… (= 5, 25, 125,…).
Autobús 4: 7 ^1, 7^2, 7^3,… (= 7, 49, 343,…).
Autobús 5: 11^1, 11^2, 11^3,… (=11, 121, 1331,…).
3º Hagamos sitio en el hotel. Saquemos a todo el mundo de sus habitaciones y hagamos que se trasladen a la habitación cuyo número se obtiene tras multiplicar por 6 su número de habitación: el 1 a la 6; el 2, a la 12; el 3, a la 18;... De entrada, nadie va a una habitación que esté llena. Por otro lado, los turistas de los autobuses, no pueden recibir números que sean divisibles por seis (para ser divisible por seis hay que ser divisible por dos y por tres a la vez y las potencias de base número primo no pueden tener esa propiedad).
-Pero tu solución es menos elegante -me dijo Jorge.
-¿Por qué?
-Porque dejas habitaciones vacías. La habitación número 1, por ejemplo, se queda sin nadie. Las siguientes son la 10, la 14, la 15, 20, 21, 22, 26, 28,… conforme vas avanzando por el pasillo la densidad de habitaciones libres es mayor. Además, con tu sistema, tú necesitas mudar a todos tus hospedados y yo no.
-No estoy de acuerdo. Yo tengo que mudar a todos mis hospedados, de acuerdo, pero tú, aunque no los cambies a todos, también acabas trasladando a infinitas personas. Además, con mi solución, no sólo he conseguido hacer sitio a infinitos autobuses con infinitos turistas cada uno en un hotel que ya tenía infinitos ocupantes, sino que, además, he dejado libres infinitas habitaciones. Por si hubiera algún imprevisto…
Adoro las conversaciones de las noches de verano.
Foto: "Trap/starircase" de Gerald Stolk.