¡Cuidado con el ± de la solución de las ecuaciones de segundo grado!

¡Cuidado con olvidarse del ± de la solución de las ecuaciones de segundo grado!

Aviso para mis alumnos de 2°ESO que tienen examen de ecuaciones esta semana que viene, y para aquellos que estén o vayan a estar en esa misma situación.

Que no os pase después como en la imagen.

Como sabréis, una ecuación de segundo grado con una incógnita puede tener hasta dos soluciones o raíces (el número máximo de soluciones posibles de una ecuación nos lo da el grado de la ecuación). Si tiene infinitas soluciones entonces no se trata en realidad de una ecuación, sino de una identidad.

Tanto para las ecuaciones de segundo grado completas como para las ecuaciones de segundo grado incompletas en las que falta el término de la x, se utiliza en la solución el signo ± para obtener las dos soluciones que puede tener la ecuación.

Vamos a verlo en cada una de ellas.

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita completas

Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita completas son del tipo:

ax² + bx + c = 0

y las posibles soluciones de la ecuación se obtienen mediante la fórmula:

Por ejemplo, en la ecuación 3x² – 5x + 2 = 0, sería:

Siendo sus soluciones:

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita incompletas en las que falta el término de la x (b=0)

Estas ecuaciones son del tipo:

ax² + c = 0

y se resuelven despejando x directamente.

Lo vemos con un ejemplo:

3x² – 75 = 0

Primero despejamos x²:

Y ahora, utilizando el ± del que hablaba, obtenemos las dos soluciones posibles de la ecuación:

Es un error bastante común olvidarse de ese ± y obtener únicamente una de las dos soluciones posibles de la ecuación.

Si, tanto en la ecuación de segundo grado completa como en la incompleta que hemos visto, se obtuviese un radicando dentro de la raíz cuadrada que fuese negativo, la ecuación no tendría solución (dentro del conjunto de los números reales).

Por otra parte, si dicho radicando fuese cero, entonces la ecuación tendría una única solución (raíz doble).

Por cierto, ya que estoy, vamos a ver el otro tipo de ecuación de segundo grado con una incógnita incompleta con la que nos podemos encontrar.

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita incompletas en las que falta el término independiente (c=0)

Estas ecuaciones son del tipo:

ax² + bx = 0

y se resuelven extrayendo factor común x.

Por ejemplo, si queremos resolver la ecuación 3x² – 5x = 0, lo haríamos de la siguiente manera:

Primero extraemos factor común x

Para que el resultado del producto que nos ha quedado sea cero, pueden ocurrir dos cosas: bien que x=0 (sería una de las soluciones posibles) o bien que la expresión que ha quedado dentro del paréntesis sea cero (obtenemos en este caso una ecuación de primer grado que, al resolverla, nos da la otra solución de la ecuación):

Pues ya hemos visto cómo se resuelven los tres tipos de ecuaciones de segundo grado con una incógnita que nos podemos encontrar.

Pero espera, cabría una última posibilidad: que faltaran tanto el término de la x como el término independiente (b=0 y c=0), quedándonos una ecuación de la forma:

ax² = 0

como, por ejemplo, en la ecuación 3x² = 0.

En ese caso resolver la ecuación es muy sencillo, ya que la única solución posible es x=0.

Espero que os sea de ayuda y, no lo olvidéis…

¡Cuidado con el ± de la solución!

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