Demostración: por ejemplo

Por ejemplo no es una demostración.

Proverbio judío, vía Pat's Blog
Pues mira tú por donde, no estoy del todo de acuerdo con esta afirmación. Es cierto que un ejemplo no demuestra el todo; y sin ir más lejos nos podemos quedar con los famosos (no)-Primos de Fermat (, con ), en los que los 5 primeros números son primos, pero el sexto ya no. Es decir, un ejemplo no puede demostrar la veracidad de una afirmación.
Sin embargo, un (contra)-ejemplo sí que puede ser una demostración, pero la demostración de la falsedad. Así, por ejemplo (nunca mejor dicho), ante la afirmación de que Todo número de Fermat es primo, podemos decir que el sexto (es el sexto, sí, os recuerdo que comenzamos en 0), $$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967296= 641 \times 6700417$$ demuestra la falsedad de dicha afirmación.
Este suele ser uno de los aspectos que más cuesta inculcar a los estudiantes de asignaturas de matemáticas: cuándo vale un ejemplo para demostrar algo (caso de los contra-ejemplos) y cuándo hay que hacerlo en general. Éste es uno de los principales caballos de batalla que tengo año sí y año también con mis alumnos de Matemáticas del Grado en Química.
¿Qué opináis vosotros? ¿Tenéis el mismo problema que yo? ¿Cual creéis que es el verdadero motivo?
Tito Eliatron Dixit 
 
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