Dibujos que ayudan a probar teoremas

“Mamá ya está pintando otra vez”, era la frase habitual de Anahita, la hija de Maryam Mmirzakhani cuando veía a su madre en el suelo, haciendo intrincados dibujos de esferas con asas, toros, etc., en grandes hojas de papel.

Maryam Mirzakhani

Lo que hacía Maryam es lo que hacemos muchos matemáticos cuando tratamos de probar un teorema. Intentamos representarlo de forma gráfica para hacernos una idea de por donde pueden ir los tiros. Si tenemos papel a mano, lo usamos y emborronamos docenas de hojas (visite un despacho de matemático y lo podrá comprobar). Pero si tenemos una pizarra a mano, el gozo es mayor, porque la tiza permite dibujar una y otra vez porque, para comenzar de nuevo, solo hace falta borrar. Incluso, cuando no tenemos nada a mano, hacemos dibujos imaginarios con nuestros dedos en el aire como si ese conjuro fuese suficiente para convertir las moléculas flotantes en figuras.

Un caso extremo y célebre es el de Arquímedes, muerto por un soldado romano en el sitio de Siracusa, cuando le dijo “No toques mis círculos”, refiriéndose a los que había dibujado en la arena. Ya ven, el matemático dispuesto a morir por su obra efímera.

Pero el dibujo que nos ayuda a encaminar nuestros razonamientos no puede sustituir a la prueba formal del resultado que perseguimos. Ahí, los símbolos de las ecuaciones que vamos pergeñando, “las cuentas” que hacemos simbólicamente, son las que finalmente nos permiten llegar a colocar el QED (“Quod Erat Demonstrandum”).

Hay dibujos mucho más sofisticados, los que permiten conseguir los programas informáticos que simulan las ecuaciones del modelo que estamos manejando. Y en este caso, la precisión es grande y podemos acercarnos mucho a una especie de demostración visual: por ejemplo, la curva parece que se comporta de esta manera lo que sugiere que el resultado que queremos probar es cierto. Aún así, esto no es una prueba formal.

Hay muchas demostraciones llamadas “visuales”, porque prueban un resultado de manera gráfica. Cubren todo el panorama histórico de la humanidad, y una de las preferidas es el teorema de Pitágoras, como la contenida en esta estatua:

Fotografía de “Matemáticas visuales”

Pero ni estas satisfacen la que podíamos llamar “la prueba del algodón matemático”. Porque ya nos enseñó Euclides que partiendo de unas hipótesis, y suponiendo ciertos unos axiomas evidentes e indemostrables, es el razonamiento lógico el único que nos lleva al resultado deseado. Eso sí, los matemáticos seguiremos por los siglos venideros haciendo nuestros dibujitos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).