Ejercicios de los 5 últimos casos de factorización

Caso VI
Trinomio de la forma x^2 + bx + c.
Trinomios de la forma x^2 + bx + c son trinomios como:
X^2 + 5x + 6
m^2 + 5m – 14
a^2 – 2a – 15
Para que estos términos a la que hemos puesto como ejemplos sean trinomios de la forma x^2 + bx + c deben cumplir con las siguientes condiciones:
1) El coeficiente del primer término es 1.
2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3) El segundo término tiene la misma letra que el primero termino 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1er y 2do términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Regla para factorar un trinomio de la forma x^2 + bx + c
1) Lo primero que debemos hacer es sacar la raíz cuadrada del primer término del trinomio es decir raíz cuadrada de x^2 es x.
2) Luego de eso debemos de separar en dos grupos de binomios, cada grupo va constar de la raíz cuadrada que le sacamos al comienzo x^2 es decir x. Ejemplo
x^2 + 5x + 6 = (x ) (x )


3) Una vez realizado el paso 2 debemos identificar los signos por el cual va ir precedido el segundo término en ambos grupos para una mejor explicación le muestro el siguiente ejemplo:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
En este caso los signos de ambos grupos de binomio es + esto lo identificamos observando el trinomio original, observamos el segundo término que va precedido del signo + al ver que tiene el signo mas colocamos el signo en el primer grupo de binomio es decir:
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x )
nos damos cuenta como colocamos el signo y para saber el signo del segundo grupo lo que hacemos es una simple ley de signos, es decir el signo que va precedido del segundo término por el signo que va precedido del tercer término del trinomio original ejemplo:
x^2 + 5x + 6
En este caso nos fijamos en los signos resaltados de rojo, al hacer la ley de los signos + * + = + nos va a dar el resultado de + que va ser el signo del segundo grupo ejemplo.
x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x + )
4) Una vez descubierto los signos de ambos grupo pasamos a descubrir los números que van a ir tanto de un grupo como del otro grupo.
Esto lo hacemos sacando máximo comun divisor del último término del trinomio original. Ejemplo.
x^2 + 5x + 6
Es decir al 6 le sacamos el máximo comun divisor
6 = 2 y 3 vendría a ser el máximo comun de 6, porque 6 dividido para 2 nos da 3 y para ser al tres 1 lo dividimos para 3.
x^2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)
Estos son los números que van a ir tanto en un grupo como en el otro también lo podemos averiguar porque 3 al multiplicarlo por 2 nos va a dar 6 del trinomio original, y 3 sumando 2 nos va a dar 5 del segundo termino del trinomio original estas son las dos formas para comprobar si los números que colocamos son los correctos.
Ejemplos descriptivo de los casos de factorizacion VI.
Factorizar a^2 – 13a + 40
Observamos que sacamos la raíz cuadrada de a^2 que va ser a. y eso lo colocamos en ambos grupos.
a^2 – 13a + 40 = (a ) (a )
En el primer binomio después de a se pone signo – porque el segundo termino del trinomio
– 13a tiene signo - . En el segundo binomio, después de a, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de – 13 a por el signo de + 40 y se tiene que – por + da – es decir:
a^2 – 13a + 40 = (a – 8 ) (a – 5 )
Sacamos el máximo comun de 40 que nos da 2, 2, 2 y 5 debemos buscar dos números cuya suma sea – 13 y cuyo producto sea +40.
En este caso va ser – 8 y – 5.
Factorizar: x^2 + 6x – 216
En el primer binomio se pone + porque +6x tiene signo + .
En el segundo binomio se pone – porque multiplicando el signo + 6x por el
signo de – 216 se tiene que + por – da – .
Necesitamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216.
Estos números no se ven fácilmente. Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer término.
216= 2, 2, 2, 3, 3, 3
Ahora, formamos con estos factores primos dos productos.
Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números que buscamos. Asi:
2 * 2 * 2 = 8 3 * 3 * 3 = 27
2 * 2 * 2 * 3 = 24 3 * 3 = 9
2 * 2 * 3 = 12 2 * 3 * 3 = 18
27 – 8 = 19, no nos sirven
24 – 9 = 15, no nos sirven
18 – 12 = 6, sirven
18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto necesariamente es 216 ya que para obtener estos números hemos empleado todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216.
Por tanto:
x^2 + 6x – 216 = (x + 18) (x – 12).
Ejercicios de los casos de factorizacion VI.
Trinomio de la forma x^2 + bx + c
Factorizar o descomponer en dos factores.
y^2 – 9y + 20
Descomponiendo en factores tenemos:
20 = 2, 2, 5
(y – 5) (y – 4)
Factorizar: x^2 + x – 132
Descomponer en factores el 132.
132 = 2, 2, 3, 11
2 * 2 * 3 = 12
11
El 12 y 11 serian los números indicado debido a que la diferencia 12 – 11 = 1, da como resultado +1 y el producto nos da – 132.
(x + 12) (x – 11)
Factorizar: m^2 – 2m – 168
Descomponer en factores el 168.
168 = 2, 2, 3, 7
2 * 2 * 3 = 12
2 * 7 = 14
El 12 y 14 serian los números indicados debido a que la diferencia
– 14 + 12 = - 2, da como resultado – 2 y el producto nos da – 168
(m – 14) (m + 12)
Caso Especial del trinomio de la forma x^2 + bx + c
Ejemplos descriptivos:
Factorizar: x^4 + 5x^2 – 50
El primer termino de cada factor binomio será la raíz cuadrada de x^4 o sea x^2.
x^4 – 5x^2 – 5a = (x^2 - ) (x^2 + )
Descomponemos en factores el 50.
50 = 2, 5, 5
2 * 5 = 10
5
El 10 y 5 son los números indicados, porque la diferencia – 10 + 5 = – 5
nos da – 5 que es del segundo término y el producto – 10 * 5= - 50, nos da
– 50 en resumen en el caso que explicamos anteriormente son los mismos pasos que se aplica en el caso especial.
(x^2 – 10) (x^2 + 5)
Factorizar: (5x)^2 – 9(5x) + 8.
El primer término de cada binomio será la raíz cuadrada (5x)^2 o sea 5x.
(5x)^2 – 9(5x) + 8 = (5x - ) (5x - )
Dos números cuya suma sea 9 y cuyo producto es 8 son 8 y 1, Tendremos:
(5x)^2 – 9(5x) + 8 = (5x – 8) (5x – 1)
Factorizar: (a + b)^2 – 12(a + b) + 20.El primer término de cada binomio será la raíz cuadrada de (a + b)^2 que es
(a + b).
(a + b)^2 – 12(a + b) + 20.
[(a + b) – ] [(a + b) - ]
Buscamos dos números cuya suma suma sea 12 y cuyo producto sea 20. Esos números son 10 y 2. Tendremos:
(a + b)^2 – 12(a + b) + 20 = [(a + b) – 10] [(a + b) – 2]
= (a + b – 10) (a + b – 2)
Factorizar: 28 + 3x – x^2.
Ordenando en orden descendente respecto de x tenemos:
– (x^2 – 3x – 28)
Factorando: x^2 – 3x – 28 = (x – 7) (x + 4), pero como el trinomio esta precedido de – su descomposición también debe ir precedido de – y tendremos:
–(x – 7) (x + 4)
Para que desaparezca el signo – del producto –(x – 7) (x + 4) o sea, para convertirlo en + basta cambiarle el signo a un factor, por ejemplo (x – 7) y quedara.
28 + 3x – x^2 = (7 – x) (x + 4).
Ejercicio de los caso especiales VI.
Factorizar = x^4 + 5x^2 + 4
x^4 + 5x^2 + 4= (x^2 + 4) (x^2 + 1).
Factorizar= (x – y)^2 + 2(x – y) – 24.
(x – y)^2 + 2(x – y) – 24 = [(x – y) + 6] [(x – y) – 4]
= (x – y + 6) (x – y – 4)
24 = 2, 2, 2, 3
2 * 3 = 6 6 – 4 = 2
2 * 2= 4
El 6 y 4 van a ser los números que van a ir en los grupos de binomios.
Factorizar = 48 + 2x^2 – x^4
– x^4 + 2x^2 + 48
– (x^4 – 2x^2 – 48)
Factorizando x^4 – 2x^2 – 48 nos da (x^2 – 8) (x^2 + 6)
48 = 2, 2, 2, 2, 3.
2 * 2 * 2 = 8
2 * 3 = 6
El 8 y 6 van a ser los números que van a ir en los grupos de binomios.


Caso VIII
Cubo perfecto de binomios.
Regla para factorizar un cubo perfecto de binomios.
Factorizar: a^3 + 3a^2 + 3a + 1
1) Primero identificar que el ejercicio tenga cuatro términos en este caso observamos que nuestro ejercicio consta de cuatro términos
2) Sacar la raíz cúbica al primer término y al último término Ejemplo.
La raíz cúbica de a^3 es a.
La raíz cúbica de 1 es 1.
3) Vemos si cumples las condiciones realizando la siguiente prueba. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
1) 3 (a)^2 (1) = 3a^2
2) 3 (a) (1)^2 = 3a
1) Como observamos que una vez que le sacamos la raíz cuadrada al primer y ultimo término, con ellos realizamos la prueba, multiplicando primeramente al 3 por el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del ultimo término, en expresión 3 (a)^2 (1) = 3a^2 dándonos el resultado del segundo término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
2) Luego multiplicamos al 3 por la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término, en expresión 3 (a) (1)^2 = 3ª dándonos el resultado del tercer término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1
4) Y por ultimo ya realizado la prueba y comprobar que se trata de un cubo perfecto de binomios resolvemos el ejercicio:
a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3
Quedándonos el binomio a + 1 elevándolo al cubo.
Nota: Para saber que signo va dentro del binomio tenemos que tomar en cuenta lo siguiente:
Es signo + cuando los signos de los 4 términos es +
Es signo – cuando los signos de los términos es alternado es decir – y + .
No es cubo perfecto cuando:
1) Cuando al realizar la prueba no nos da el resultado ni del segundo ni tercer término
2) Cuando los signos son alternados de esta forma. Ejemplo:
a^3 + 3a^2 – 3a – 1
a^3 – 3a^2 + 3a + 1
a^3 + 3a^2 – 3a + 1
a^3 – 3a^2 – 3a + 1
solo cuando es alternado de esta forma a^3 – 3a^2 + 3a – 1 es un cubo perfecto.
Ejercicios descriptivos de los casos de factorizacion VIII
1) 27 – 27x + 9x^2 – x^3 = (3 – x)^3
3 (3)^2 (x) = 27x
3 (3) (x)^2 = 9x^2
2) 125x^3 + 1 + 75x^2 + 15x
Ordenando: 125x^3 + 75x^2 + 15x + 1 = (5x + 1)^3
3 (5x)^2 (1) = 75x^2
3 (5x) (1)^2 = 15x
3) x^3 – 3x^2 + 3x + 1
No es cubo perfecto porque los signos no son alternados de esta manera
– * + * – * +
4) a^6 + 3a^4 b^3 + 3a^2 b^6 + b^9 = (a^2 + b^3)^3
3 (a^2)^2 (b^3) = 3a^4 b^3
3 (a^2) (b^3)^2 = 3a^2 b^6
Caso IX
Suma o diferencia de cubos perfectos.
Regla para resolver una suma o diferencia de cubos perfectos.
Regla 1La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1) La suma de sus raíces cúbicas.
2) El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.
Regla 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1) La diferencia de sus raíces cúbicas.
2) El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplos descriptivos de los casos de factorizacion IX.
1) Factorizacion: x^3 + 1
La raíz cúbica de x^3 es x; la raíz cúbica de 1 es 1.
x^3 + 1 = (x + 1) [x^2 – x(1) + 1^2] = (x + 1) (x^2 – x + 1)
Respuesta: (x + 1) (x^2 – x + 1)
Aplicando la regla 1 vemos que trata de una suma de dos cubos perfectos.
Entonces al sacarle la raíz a x^3 = x y 1 = 1, el primer factor va ser una suma de (x + 1), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando suma; el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz quedándonos:
[x^2 – x(1) + 1^2] = x^2 – x + 1
Al juntar los 2 factores nuestra respuesta será:
(x + 1) (x^2 – x + 1)
2) Factorizar: 8x^3 – 125
La raíz cúbica de 8x^3 es 2x; la raíz cúbica de 125 es 5
Aplicando la regla 2 vemos que trata de una diferencia de dos cubos perfectos.
8x^3 – 125 = (2x – 5) [(2x)^2 + 2x(5) + (5)^2]
(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25)
Al sacarle la raíz a 8x^3 = 2x y a 125 = 5, el primer factor va ser una resta
(2x – 5), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando es resta; el cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. Quedándonos:
[(2x)^2 + 5(2x) + 5^2] = 4x^2 + 10x + 25Al juntar los dos factores nuestra respuesta será:
(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25)
Ejercicios de los casos de factorizacion IX.
Suma o diferencia de cubos perfectos.
1) a^3 + 27 = (a + 3) [a^2 – 3(a) + (3)^2]
(a + 3) (a^2 – 3a + 9)
2) a^3 b^3 – x^6 = (ab – x^2) [(ab)^2 + abx^2 + (x^2)^2]
(ab – x^2) (a^2 b^2 + abx^2 + x^4)
3) 27m^3 + 64n^9 = (3m + 4n^3) [(3m)^2 – 3m(4n^3) + (4n^3)^2]
(3m + 4n^3) (9m^2 – 12mn^3 + 16n^6)
4) 8x^9 – 125y^3 z^6
(2x^3 – 5yz^2) [(2x^3)^2 – (2x^3)(5yz^2) + (5yz^2)^2]
(2x^3 – 5yz^2) (4x^6 + 2x^3 y z^2 + 25y^2 z^4)
Caso X
Suma o diferencia de potencia impares iguales
Regla para  La suma  de dos potencias impares iguales (m^5+n^5)es  igual a dos factores:
el primero es la suma de las raíces de los términos (m+n)
el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  menos el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta. (m^4 – m^3n + m^2n^2 – mn^3 + n^4)
Regla para  La diferencia  de dos potencias impares iguales (m^5 – n^5)es  igual a dos factores:
el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)
el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  más el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta.
(m^4 + m^3n + m^2n^2 + mn^3 + n^4)
Ejemplo:
Factorar    x^5 +32
1º  Encontramos la raíz quinta de los términos:
raíz quinta de x^5 = x          ; raíz quinta de 32 = 2  
2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x +2)
3º  Formamos el segundo factor:   (x^4 – x^3(2) +x^2(2)^2 – x(2)^3 + (2)^4) = (x^4 – 2x^3 + 4x^2 – 8x + 16)
–> x^5 +32  =  (x +2)(x^4 – 2x^3 + 4x^2 – 8x + 16)  Solución
Factorar    x^7 – 1
1º  Encontramos la raíz séptima de los términos:
raíz séptima de x^7 = x          ; raíz séptima de 1 = 1  
2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x – 1)
3º  Formamos el segundo factor:
(x^6 + x^5(1) + x^4(1)^2 + x^3(1)^3 + x^2(1)^4 +x(1)^5 + (1)^6) =
 = (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x +1) –>
–> x^7 -1  =  (x – 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x +1)  Solución