El caso del rectángulo de igual superficie y perímetro

¡Un rectángulo de igual superficie y perímetro!

¿Podrá el Inspector Clouseau resolver este caso?

Podemos llamar a los lados del rectángulo a y b. De hecho así aparecen en el dibujo inicial.

Nos dicen que el perímetro y la superficie del rectángulo coinciden.

El perímetro de un rectángulo, como ya sabréis, es igual a la suma de sus lados:

P = a + a + b + b = 2a + 2b = 2·(a + b)

Y la superficie o área viene dada por el producto de su base y su altura (o si lo preferís, el producto de dos de sus lados consecutivos), es decir:

A = a · b

Como se nos indica que ambos son iguales, tenemos que:

2·(a + b) = a · b

El miembro de la izquierda de la ecuación es par, pues es el resultado de multiplicar por dos un número natural (número resultante de la suma de los números naturales a y b).

Eso quiere decir que en el miembro de la derecha de la ecuación, al menos uno de los dos números naturales a y b  tiene que ser un número par para que su producto lo sea también (incluso pueden serlo los dos).

Si, por ejemplo, consideramos que a es par, podemos expresarlo como:

a = 2p , siendo p un número natural

Sustituyéndolo en la ecuación anterior, tenemos que:

2·(2p + b) = 2p·b

Y simplificando:

2p + b = p·b

Vamos a expresar ahora b en función de p. Para ello operamos primero y despejamos después b:

p·b – b = 2p

sacamos factor común

b·(p – 1) = 2p

y despejamos b

b = 2p / (p – 1) , siendo p un número natural

Pues bien, para que b sea un número natural tiene que ocurrir que o bien (p – 1) sea divisor de 2. o bien (p – 1) sea divisor de p, de lo contrario no podría serlo.

Si (p – 1) es divisor de 2, dado que los únicos divisores de 2 son 1 y 2, tenemos que:

Si p – 1 = 1 entonces p = 2

Si p – 1 = 2 entonces p = 3

Si (p – 1) es divisor de p, ocurre que el único número natural que tiene como divisor al número que le precede es el 2 (1 es divisor de 2), por lo que en este caso p = 2 (valor que ya nos había salido antes).

Sustituyendo ahora los dos valores de p obtenidos en las expresiones de a y b en función de p (a = 2p y b = 2p/(p – 1) ), se tiene que:

para p = 2 , los lados del rectángulo son a = 4 y b = 4

para p = 3 , los lados del rectángulo son a = 6 y b = 3

Y habría una tercera solución que se obtendría si considerásemos al principio b  par en lugar de a, y que sería a = 3 y b = 6.

Resumiendo, nuestros tres posibles rectángulos de igual perímetro y área son:

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