El Hexagrammum Mysticum

El estudio de las cónicas, que se extiende a más de dos milenios, ofrece episodios matemáticos de una gran belleza, que en algunos casos se acerca al misticismo. Uno de los teoremas más excitantes en ese sentido es el llamado Teorema de Pascal, denominado a veces el Teorema del Hexagrama Místico.

Blaise Pascal

El Teorema de Pascal dice lo siguiente:

Si un hexágono arbitrario ABCDEF se encuentra inscrito en una cónica, y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se cruzan, los tres puntos en los que se intersecan se encontrarán ubicados sobre una línea recta, denominada la recta de Pascal de esta configuración (veáse Figura 1).

Figura 1

Esta figura ilustra el resultado en el caso de la elipse, pero el teorema vale para cualquier tipo de cónicas, incluyendo las degeneradas así como hexágonos que se puedan intersecar.

El teorema fue enunciado por Blaise Pascal cuanto contaba dieciséis años, un prodigio de precocidad, pero no se ha conservado ninguna prueba por su parte. Pascal trabajaba en un tratado sobre las cónicas, Conicorum Opus Completum que se perdió. Si se conserva lo que titula Essay pour les coniques, una especie de “poster” que envió en 1654 a la Academia de Ciencias de París.

El Teorema de Pascal es de clara naturaleza proyectiva, y de hecho, para entenderlo en toda su generalidad, debemos considerar el caso de las rectas paralelas que se juntan en el punto del infinito.

Este teorema es además una generalización del teorema de Pappus, de hecho, este último correspondería al caso de una cónica degenerada formada por dos rectas. El Teorema de Papus establece lo siguiente:

Si en un par de rectas se escogen tres puntos al azar en cada una y se unen dos a dos, las intersecciones de las rectas que los unen estarán en una línea recta.

El siguiente gráfico ilustra este resultado:

Una de las curiosidades del Teorema de Pascal es que dados 6 puntos, existen 60 maneras diferentes de construir exágono, de donde deducimos que dada una cónica existirán 60 rectas diferentes de Pascal. La cuenta de 60 se obtiene con un sencillo cálculo sobre el número de ciclos de Hamilton de un grafo completo de 6 vértices.

Aunque no se cuenta con la prueba que Descartes pudo haber diseñado, hoy en día existen numerosas pruebas de su teorema, con muy diversas técnicas. Como decíamos antes, es un resultado que encaja perfectamente en la geometría proyectiva, y de hecho su dual proyectivo es el teorema de Brianchon, que afirma:

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una cónica. Entonces, los segmentos AD, BE, CF se intersecan en un solo punto P.

El teorema se ilustra con la siguiente figura:

Uno de los resultados más interesantes sobre las cónicas es que cualquiera de ellas está determinada conociendo cinco de sus puntos. Existe una relación entre este teorema y el de Pascal. En efecto, dados cinco puntos, el teorema de Pascal permite construir de manera efectiva la cónica correspondiente.

En este enlace el lector puede encontrar una construcción del Teorema de Pascal usando Geogebra.

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Agustín Carrillo Catedrático de Matemáticas y Secretario General de la FESPM y la FISEM) y  Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).