Una de las reglas más famosas que recordamos todos del bachillerato es la llamada Regla de Cramer, que nos sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales con unos sencillos cálculos de determinantes de matrices y submatrices.
Gabriel Cramer
La regla es muy simple. Si el sistema de ecuaciones (n ecuaciones y n incógnitas) es
A11 x1 + … + A1n xn = b1
A21 x1 + … + A2n xn = b2
……………………………….
An1 x1 + … + Ann xn = bn
se puede representar de una manera simple como
Ax = b (1)
donde A es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas x1, …, xn y x es el vector representado en forma de columna igual que b (formado por los números b1, …, bn) de manera que en la ecuación anterior usamos la regla para multiplicar matrices de filas x columnas.
La regla de Cramer nos dice que las soluciones se obtienen de esta manera tan sencilla
xi = det Ai / det A
donde Ai se obtiene de la matriz A sustituyendo la columna i-ésima por los elementos de b. Obviamente, estamos tratando con sistemas regulares en los que la matriz A tiene determinante no nulo.
Este método fue propuesto por el matemático suizo Gabriel Crame (1704-1752), y fue incluida en si obra Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Parece ser que para algunos casos particulares era ya conocida por el matemático escocés Colin Maclaurin.
Hay otra manera de ver la ecuación global (1); bastaría calcular la inversa de la matriz A, sea A-1, y entonces
X = A-1 b
nos daría la solución. El cálculo de esta inversa juega un papel decisivo en la demostración de la regla de Cramer.
Mientras que la regla de Cramer es perfecta desde el punto de vista teórico, no lo es tanto a la hora de ponerla en práctica, y es más eficaz el método de eliminación de Gauss. Tengamos en cuenta que para sistemas con un número elevado de ecuaciones e incógnitas necesitamos usar ordenadores.
Gabriel Cramer
Gabriel Cramer fue un joven prodigio, nacido en una familia acomodada en Ginebra. A los 18 años defendió una tesis doctoral sobre la teoría del sonido, y a los 21 estaba opositando para una cátedra de filosofía. Aunque no era el candidato oficial (Amédée De la Rive), él y otros de sus contrincantes, el joven Giovanni Ludovico Calandrini, impresionaron tanto al tribunal por sus conocimientos, que decidieron dividir la cátedra en dos, una de filosofía y otra de matemáticas. Calandrini y Cramer deberían compartir la de matemáticas, lo que así hicieron a satisfacción de todos.
Jean-Louis Calandrini.
Cramer propuso un cambio muy importante en la enseñanza, usar el francés y no el latín, para conseguir llegar a más personas.
Una de las características de su puesto era que le permitían viajar por Europa, y así pudo visitar a los mejores matemáticos de la época: Johann Bernoulli, Leonhard Euler, Halley, de Moivre, Stirling, Willem ‘sGravesande, Fontenelle, Maupertuis, Buffon, Clairaut, etc. Estos contactos, que siguieron luego por carta, le permitieron estar al día en la frontera de la investigación matemática.
En 1734, Cramer se queda solo en la cátedra de Matemáticas. Desarrolló en todos los años de su vida una actividad muy intensa, publicando sobre temas muy diversos en matemáticas. Una prueba de su prestigio es que el propio Johann Bernouilli le encargó la publicación de sus obras completas, lo que también hizo con las de Jacob Bernouilli, además de editar la correspondencia entre Euler y Johann Bernouilli.
Cramer murió prematuramente. A pesar de su excelente salud, sufrió una caída de un carruaje, y ya no se recuperó; falleció cuando se dirigía al sur de Francia (Provenza), dónde su médico le había recomendado pasar una temporada tranquila y con un buen clima.
La curva del diablo
La curva del diablo
Cramer se asocia habitualmente a una interesante curva denominada curva del diablo. El nombre alude a la meniscata del centro, muy similar a un juego que fue popular a finales del siglo XVIII, el “diabolo”.
Mujer parisina jugando al diabolo
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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).
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