El número 142857

¿Qué puede tener de interesante un número?. Coge una calculadora y recuerda: 142857, catorce - veintiocho - cincuenta y siete... Éste número es uno de los números cíclicos más conocidos y fáciles de recordar, el cual tiene una serie de propiedades inútiles pero no por ello menos interesantes.
Éste número multiplicado por cualquier otro siempre aparecerá ahí de nuevo, escondido. Exceptuando la multiplicación por 7 y sus múltiplos.

1 x 142857 = 142857  6 x 142857 = 857142

2 x 142857 = 285714 15 x 142857 = 2142855 (55 + 2 = 57)

3 x 142857 = 428571 20 x 142857 = 2857140

4 x 142857 = 571428 95 x 142857 = 13571415 (15 + 13 = 28)

5 x 142857 = 714285219 x 142857 = 31285683 (3 + 8 + 3 = 14; 1 + 56 = 57)

Cuando lo multiplicamos por 7 o alguno de sus múltiplos, mantiene la curiosa propiedad con el número nueve:
  7 x 142857 = 999999
14 x 142857 = 1999998 (1 + 8 = 9)
35 x 142857 = 4999995 (4 + 5 = 9)
Pero las propiedades con el número 7 no acaban ahí. Al dividir cualquier número natural entre 7 vamos a obtener un número decimal, pero además un número periódico puro, que esconde una sorpresa una vez más:
1 ÷ 7 = 0,142857
2 ÷ 7 = 0,285714
3 ÷ 7 = 0,428571
4 ÷ 7 = 0,571428
5 ÷ 7 = 0,714285
6 ÷ 7 = 0,857142
Nótese en especial que 22 ÷ 7 = 3,142857, lo cual es una cifra cercana a Pi, que difiere sólo en un 0,4%, lo cual ya se conocía en tiempos de Aristóteles y se usaba como aproximación del perímetro del círculo, (ver hasta 200 millones de decimales de Pi).
Nuestro querido número también es un número Harshad, que tienen la propiedad de ser divisibles por la suma de sus cifras: 1 + 4 + 2+ 8 + 5 + 7 = 27, pues 142857 ÷ 27 = 5291. Efectivamente, sin decimales.
Además es un número de Kaprekar, mucho más extraños, cuya propiedad es que al elevar un número al cuadrado (142857 ^ 2 = 20.408.122.449), es posible separar el número en dos partes y que al sumarlas, obtengamos el número original: 20.408 + 12.2449 = 142857.
A partir de ahora cuando estéis aburridos y tengáis alguna calculadora a mano, ¿a que adivino lo que vais a hacer?. ¡Sí! Multiplicar 142857 por lo que sea y buscar sus misteriosas cifras escondidas.
FUENTES: [1] [2]