El problema de los tres cuerpos: cuando tres son multitud

Supongamos que A se siente atraído por B y que B, al mismo tiempo y en clara correspondencia, se siente atraído por A. Salta a la vista que con un lugar adecuado y cierta dosis de intimidad el problema tiene fácil solución. Si de pronto aparece C y tanto A como B se sienten atraídos por él (o ella), ambos son correspondidos y la inicial atracción entre los dos primeros no se ha evaporado (en otras palabras, todos se sienten atraídos por todos)… lo que salta a la vista es que el escenario cambia notablemente. Podemos pensar que, con un lugar adecuado, cierta dosis de intimidad y, ahora, un poco de orden, la situación no es tan peliaguda. Lo que en términos de relaciones humanas puede parecer una cuestión de equilibrio personal, trasladado a un lenguaje físico-matemático se convierte en un galimatías irresoluble.

Una de las grandes aportaciones de Isaac Newton a la ciencia fue la Ley de la Gravitación Universal. Según cuenta la leyenda, se le cayó una manzana en la coronilla y lo primero que se le pasó por la cabeza, en paráfrasis, fue lo siguiente: “todos los cuerpos con masa sufren una fuerza de atracción entre sí; esta fuerza es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, por grande que ésta sea.” Con esta ley era capaz tanto de explicar el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra como el de la manzana al caer del árbol (¡!).

Otra de sus grandes aportaciones, y pararemos aquí puesto que de lo contrario no terminaríamos nunca, fueron las tres leyes de la dinámica, la segunda de las cuales dice que la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza que experimenta. La aceleración, en términos matemáticos, se puede expresar como la derivada segunda de la posición de un cuerpo respecto del tiempo. Si consideramos estos dos ingredientes, nos situamos en el primer caso (A y B se atraen mutuamente) y reelegimos nuestras coordenadas para ver las cosas desde el punto de vista de A (o de B, lo mismo da) obtendremos una ecuación diferencial de segundo orden. Este tipo de ecuaciones diferenciales (segundo orden) se pueden transformar en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, más tratables si queremos demostrar la existencia de la solución al problema y obtener una analíticamente cerrada. En este escenario nos encontramos ante el problema de los dos cuerpos, ejemplos del cual pueden ser el sistema Sol-Tierra o Tierra-Luna. En este caso, después de algún tiempo peleando con nuestras variables distancia y ángulo, considerando que uno de los dos cuerpos se encuentra fijo en el origen de coordenadas y que la fuerza entre ellos obedece la ley de la gravitación universal, logramos entender que el segundo se mueve en torno al primero siguiendo órbitas en forma de elipses. En otras palabras: encontramos una solución analítica de nuestro problema, lo que nos proporciona la posición y velocidad de cada uno de los cuerpos en todo tiempo.

C se suma a la fiesta. Como era de esperar, lo arruina todo. Nos topamos ahora con el archiconocido problema de los tres cuerpos. Está claro que no se trata de un problema teórico: el sistema Sol-Tierra-Luna encaja perfectamente en este esquema. Queremos obtener la solución a nuestras ecuaciones… ¿qué ocurre? La solución analítica no existe. Este resultado fue demostrado por el matemático francés Henri Poincaré: para un sistema de n cuerpos, cuando n es igual o mayor a tres, no existe solución analítica que podamos obtener por medio de cuadraturas. ¿Quiere decir esto que el problema de los tres cuerpos no tiene solución en absoluto? Por fortuna no. Si nos paramos a pensar un segundo, tanto la Luna como el resto de planetas trazan caminos en el cielo que los científicos conocen con precisión, siendo capaces de orientar sus telescopios para observarlos con todo detalle. Que no podamos encontrar una solución en términos de funciones elementales no quiere decir que tal solución no exista. De hecho, el matemático finés Kart Fritiof Sundman proporcionó en 1912 una solución al problema de los tres cuerpos por medio de una serie convergente. Esto último es un claro ejemplo de cómo evoluciona la ciencia matemática: un obstáculo, más que de motivo para el desaliento, sirve para agudizar el ingenio y encontrar atajos, rodeos y, sobre todo, nuevos caminos hacia los resultados deseados. Con ánimo de concretar, en el caso de los tres cuerpos se puede atacar el problema desde un punto de vista de teoría de perturbaciones: se parte de un problema de dos cuerpos y se considera que el tercero “perturba” la posición de los dos primeros.

Y… ¿qué podemos decir de D, E, F…? Si se les ocurre asomar la cabeza a los matemáticos les va a dar un infarto. ¿Problema teórico? Ni mucho menos: tenemos el Sistema Solar ante nuestras narices para recordarnos que hay mucho más que calcular…Ser capaces de describir con precisión el movimiento de las planetas es un ejemplo claro de la potencia de los métodos numéricos y las modernas técnicas de computación aplicados a sistemas de ecuaciones diferenciales: no podemos encontrar la dichosa solución analítica, pero enseñando a sumar, restar, multiplicar y dividir a una máquina, nos acercamos a ella con gran precisión… Las matemáticas, con ayuda de los ordenadores, nos enseñan a bailar la danza celestial.

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Fernando Jiménez Alburqueque (CSIC) es investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).