El truco de la suma de tres dígitos

Piensa un número de tres dígitos que tenga todos sus dígitos diferentes entre si.

¿Lo tienes ya?

Yo he pensado en el

Seguimos entonces (tú puedes hacerlo con tu número, el mío es sólo un ejemplo)…

Ahora escribe todos los posibles números de dos dígitos que se pueden formar con los tres dígitos seleccionados (sin repetirlos).

En mi caso serían…

Te deben haber salido seis números de dos dígitos.

Pues bien, si multiplicas la suma de los dígitos del número del principio de tres dígitos por veintidós, obtendrás directamente la suma de todos los números de dos dígitos que habías formado, sea cual sea el número con el que empezaste.

En mi caso obtengo 220, que es la suma de 14, 15, 41, 45, 51 y 54.

Puedes probar con más números si quieres.

¿Sorprendido o sorprendida?

Bueno, ya sabes que al final es todo matemáticas y lo que nos gusta llamar trucos no son otra cosa que caminos más cortos (o mejor diferentes, porque en ocasiones ni siquiera resultan más cortos) para llegar a un mismo sitio.

En realidad lo único que hemos hecho es aprovechar que sabemos a dónde vamos a llegar.

Vamos a deducirlo paso a paso.

Lo primero es escribir el número de tres dígitos de forma genérica, y para eso utilizamos letras (lo hemos hecho ya en el blog en otras ocasiones)…

Ahora escribimos todos los posibles números de dos dígitos (letras) que se pueden formar con los tres dígitos (letras) seleccionados (sin repetirlos)…

Como lo que queremos obtener es la suma de estos números, lo que hacemos es escribirlos en base decimal o base 10, que es la base de numeración que empleamos habitualmente, es decir, los expresamos como suma de unidades y decenas…

y ahora lo sumamos todo…

¡Ya lo tenemos!

Por eso sabemos que, sean cuales sean esos a, b y c, al multiplicar su suma por veintidós, obtenemos siempre la suma de todos los números de dos dígitos que se pueden formar con ellos (sin repetirlos).

Una cosa más.

Comencé todo esto hablando de dígitos diferentes, y alguien seguro que se ha planteado ¿qué ocurre si los dígitos no son todos diferentes?

Pues sigue siendo igual, es decir, como es lógico por el razonamiento matemático que hemos hecho antes, el “truco” también tiene que funcionar. Tan solo hay que tener en cuenta que a la hora de obtener los números de dos dígitos nos saldrán números repetidos pero, en cualquier caso, deben ser seis números de dos dígitos los que se tengan.

Por ejemplo, si el número es…

… los números de dos dígitos serían…

… y aplicando nuestro “truco”…

que es la suma de 51, 55, 15, 15, 51 y 55.

Y todo esto no os lo he contado porque este “truco” sea útil en si (está claro que no lo es, al menos yo no me veo en la necesidad de echar mano de él en mi día a día), sino porque es una forma entretenida de trabajar con expresiones algebraicas (que eso sí que nos puede ser muy útil saber hacerlo) y estudiar las cosas desde la generalización (lo de las letras) para intentar obtener patrones que después podamos utilizar para facilitarnos las cosas.