Factorial… 3! No es sorpresa o admiración hacia el tres

Como dice el título de esta entrada, no es que esté mostrando sorpresa o una especial admiración hacia el número tres (que también podría ser, ya que es por ejemplo, entre otras muchas cosas, el primer número primo impar y el primer número primo de Fermat).

Como esto va de matemáticas, más bien me estoy refiriendo a su factorial.

Y es que, cuando en una expresión matemática aparece un signo de exclamación (!) después de un número, está indicando la operación de factorial sobre ese número. En nuestro caso concreto, 3! es el factorial de 3 ó 3 factorial (se puede decir de las dos maneras).

Pero…

¿Qué es el factorial?

Como función en si, el factorial de un número entero positivo n, es el producto de todos los números enteros positivos desde n hasta 1.

Por ejemplo, el factorial de 5 sería:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Y, generalizando, el factorial de n es:

n! = n · (n-1) · (n-2) · … · 4 · 3 · 2 · 1

 Y… ¿Para qué vale?

Buena pregunta.

Los factoriales se utilizan en muchas áreas de las matemáticas como el análisis matemático y la teoría de números, pero particularmente en combinatoria y, por medio de ella, en el cálculo de probabilidades.

De hecho, en su aplicación más sencilla dentro de la combinatoria, podemos decir que el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (esto se conoce como permutaciones sin repetición).

Supón que tienes tres objetos y quieres ver de cuántas formas puedes colocarlos…

Esa sería una de ellas.

Ahora es cuestión de ir cambiando el orden…

Nos han salido 6 formas diferentes. No ha sido muy complicado la verdad.

Pero ahora supón que se añaden unos cuantos más al grupo y queremos hacer lo mismo…

¿Te animas?

Parece que la cosa se complica con tanto personaje.

De hecho te recomiendo que no lo intentes “a mano” como hemos hecho antes.

Mejor vamos a utilizar lo que te he contado hace un momento, aquello de que el factorial de n era el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos.

Como tenemos 8 objetos distintos, el número de formas posibles de ordenarlos será…

8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40.320

¡40.320 formas diferentes!

Ya te decía que era mejor no intentarlo.

Y ahora, pensemos en algo que probablemente sea más cercano a muchos de los que estáis leyendo esta entrada… una clase de 25 alumnos ¿de cuántas formas diferentes podéis ordenarlos?

Vamos a verlo con lo que ya sabemos…

25! = 25 · 24 · 23 · 22 · 21 · 20 · 19 · 18 · 17 · 16 · 15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 =

15.511.210.043.330.985.984.000.000

¡15.511.210.043.330.985.984.000.000 formas diferentes de ordenarlos!

¿Verdad que se escapa bastante a la intuición?

Resulta sorprendente cómo partiendo de una cantidad relativamente pequeña como es 25 se pueda llegar a un número tan grande.

Pero es así, con poco que aumente el número de objetos las posibilidades se disparan.

Volviendo a la clase de 25 alumnos, igual lo del orden alfabético para empezar a ordenarlos no es mala idea.

Bueno, se pueden hablar muchas más cosas, pero tampoco pretendo que esta entrada sea un “todo” sobre el factorial. Con “un poco”, pero que se entienda bien, es más que suficiente.

Y ya para terminar, dos cosas que sí conviene saber.

La primera es…

¿Cuál es el factorial de cero?

Bien, comenzaré diciéndote que el factorial de cero es uno:

0! = 1

Y no es que tenga una lógica muy “aplastante”.

La primera definición que vimos de factorial como producto era para números enteros positivos mayores o iguales que 1, y el 0 no lo es, así que no nos vale para deducirlo.

Pero tampoco parece tener mucho sentido pensar en cuántas formas diferentes tenemos de ordenar cero objetos. A no ser que pensemos que lo único que podemos hacer sea “dejar las cosas como están” y eso equivalga a una sola cosa y, por tanto, 1.

  En realidad la justificación es puramente matemática. Digamos que se toma la convención de 0! = 1 para que las cosas “encajen”. Se trata de un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.

Pero no te rompas la cabeza con esto, quédate con que 0! = 1 para cuando te aparezca en alguna expresión.

La otra cosa que quería comentarte, y ya sí que termino, creo que te va a gustar más…

Si tienes una calculadora científica (no hace falta que sea demasiado avanzada) puedes encontrar en ella una tecla con “n!” o “x!”, que te servirá para calcular directamente el factorial del número que quieras (dentro de los límites de cálculo que tiene la propia calculadora). No necesitas hacer todas las multiplicaciones que hemos visto antes.