Franz Reuleaux… y su triángulo

Franz Reuleaux (30 de septiembre de 1829 – 20 de agosto de 1905), ingeniero mecánico alemán considerado a menudo el padre de la cinemática, cumpliría hoy 186 años.

Franz Reuleaux en una fotografía de 1877. Imagen de dominio público.

Realizó contribuciones en diferentes áreas de la ciencia y de la técnica. Supervisó el diseño y la construcción de unos 300 mecanismos simples como el mecanismo de cuatro barras o la manivela.

Pero, en el mundo de la matemática, se le recuerda por su triángulo de Reuleaux.

Planteemos lo siguiente:

Además de un círculo, ¿qué otra forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no caiga a través de un agujero?

Parece una pregunta cuando menos curiosa, pues es muy probable que jamás nos la hayamos planteado… vamos, que pensamos en otras muchas cosas antes que en esto.

No obstante, si intentásemos contestar a la pregunta, seguramente lo primero que se nos ocurriría sería recurrir a los polígonos (triángulo, cuadrado, pentágono…).

 Hay que tener en cuenta que la figura que buscamos debe tener como ancho máximo el ancho del agujero, para que encaje a la perfección.

 Pero ¿qué ocurriría con las tapas con forma de polígono?  En los polígonos la anchura varía (por ejemplo, en un cuadrado, si medimos de vértice a vértice opuesto la anchura es la de la diagonal, y si medimos de un vértice a otro vértice consecutivo la anchura es la del lado, que es menor), por lo que si colocamos las tapas con forma poligonal por su ancho menor se podrían colar por el agujero.

 Estamos buscando, por tanto, una curva cerrada que tenga anchura constante, pero… ¿existe otra que no sea la circunferencia? Pues bien, el triángulo de Reuleaux tiene la particularidad de ser una curva de anchura constante.

Si observamos la figura anterior, siempre hay cuatro puntos de tangencia con el cuadrado, uno en cada lado, y dichas tangentes son paralelas dos a dos, por lo que el ancho es el mismo en todo momento.

Trazar un triángulo de Reuleaux es bastante sencillo. Partiendo de un triángulo equilátero y haciendo centro en uno de los vértices, se traza un arco de circunferencia que una los otros dos vértices. La operación se repite para cada vértice y así, eliminando el triángulo inicial, se obtiene el triángulo de Reuleaux.

Esta curva fue desarrollada, como he comentado al principio, por el científico e ingeniero alemán Franz Reuleaux.

En general, una curva de anchura constante o de diámetro constante es, por definición, aquella curva cerrada cuya anchura, medida por la distancia entre dos líneas paralelas tangentes a sus dos bordes opuestos, es la misma independientemente de la dirección de estas dos paralelas. En general, cualquier polígono regular curvo impar (triángulo, pentágono, heptágono…) es una curva de anchura constante. En particular, el caso del triángulo equilátero curvo corresponde al triángulo de Reuleaux.

Pero ¿el triángulo de Reuleaux sirve para algo más que para la recreación matemática o como tapa de alcantarilla? Pues sí, más de lo que podríamos imaginar. Éstas son algunas de sus aplicaciones:

• En 1914 el ingeniero británico Harry James Watt patentó una broca con forma de triángulo de Reuleaux que va montada en un dispositivo especial que hace que gire un tanto excéntricamente y así puede taladrar un agujero con una forma casi exactamente cuadrada. En la figura se puede ver la rotación de esta broca dentro de un agujero cuadrado. Se ve que solo en las esquinas dicha broca deja cuatro pequeñas áreas sin cubrir, que suman un 1,33% del área del cuadrado

• El triángulo de Reuleaux forma parte de un mecanismo que actualmente es usado en la mayoría de los proyectores de cine.

• Esta figura, por su elegancia y por la sencillez de su trazado ha sido un motivo muy utilizado en arquitectura, sobre todo en el periodo gótico.

Iglesia de San Juan del Hospital (Valencia, España)

• Algunos lápices son fabricados con este perfil, en lugar de los tradicionales de sección redonda o hexagonal. Por lo general son promocionados como más cómodos y que producen un agarre más adecuado, además de ser menos probable que rueden fuera las mesas.

• Un triángulo de Reuleaux puede rodar fácilmente, pero no funciona bien como rueda debido a que no tiene un centro fijo de rotación. Sin embargo, en la figura adjunta la tabla puede hacerse avanzar de manera perfectamente horizontal.

En el rodillo de la izquierda habrá un eje que solo se desplace horizontalmente, mientras que en la sección del rodillo de la derecha, que es un triángulo de Reuleaux, todos los puntos tienen algo de movimiento vertical, como se aprecia en la animación de la broca de Harry Watt.

• El triángulo de Reuleaux, bueno no exáctamente el triángulo pero sí este tipo de figuras que estamos viendo (polígonos de Reuleaux), lo podemos también encontrar en las antiguas monedas de quinientas pesetas, las cuales contaban con un heptágono equilátero curvo inscrito en ambas caras de la moneda:

O en otras monedas:

• Y, por qué no, también se pueden construir vehículos con ruedas que no son circulares:

Guan Baihua mostrando su bicicleta con ruedas con forma de polígonos de Reuleaux (6 de mayo de 2009, Qingdao, China). Su construcción le llevó 18 meses.

 Y ya, para terminar ¿qué tal si buscamos la analogía del triángulo de Reuleaux en tres dimensiones?

Pues sería el Tetraedro de Reuleaux, un cuerpo sólido resultante de la intersección de cuatro esferas de radio r, cuyos centros se encuentran en los vértices de un tetraedro regular de lado r.

Animación de un tetraedro de Reuleaux (en blanco), mostrando también en rojo el tetraedro a partir del que se genera.

El tetraedro de Reuleaux formado por la intersección de cuatro esferas. Imagen realizada en Blender por Stian Ellingsen.