Geometría Material

En esta entrada damos noticia de la monografía científica Material Geometry. Grupoids in continuum mechanics, que acaba de ser publicada por la editorial World Scientific. El libro es una colaboración con Marcelo Epstein, profesor de la Universidad de Calgary (Canadá) y Víctor Manuel Jiménez, profesor de la Universidad de Alcalá de Henares.

Este libro es el primero en abordar de una manera directa las aplicaciones de las nociones de grupoide y algebroide de Lie a la mecánica de medios continuos, y, de manera sorprendente, ha servido para introducir nuevos conceptos de uniformidad y homogeneidad en la disciplina, abriendo así nuevos horizontes en conceptos tan relevantes en medios continuos.

La teoría de grupos (que debe mucho a Evariste Galois) es una estructura matemática que formaliza las simetrías que puede poseer una figura geométrica (las transformaciones que la dejan invariante) o las raíces de una ecuación polinómica. Si a un grupo se le añade una estructura diferenciable, conseguimos un grupo de Lie, que por ejemplo sintetiza las simetrías que posee una ecuación diferencial (tal y como probó Sophus Lie). Esas simetrías ayudan a la integración de las ecuaciones, o dicho en lenguaje más directo, encontrar sus soluciones. En el caso de la mecánica o la steorías de campos, las simetrías dan lugar a cantidades conservadas, es decir, cantidades que se conservan en el movimiento; este el contenido del famoso Teorema probado por Emmy Noether.

Heinrich Brandt

Un grupoide es una generalización de un grupo; si en este último siempre se pueden multiplicar (o componer) dos elementos, esto no ocurre así en un grupoide, donde los elementos tienen una cabeza y una cola y dos elementos sólo se pueden multiplicar si la cabeza de uno coincide con la cola del otro. Podemos pensar esos elementos como flechas con principio y final, como en el dibujo que acompañanos al texto.

El concepto de grupoide se debe a Heinrich Brandt (8 de noviembre de 1886, Feudingen – 9 de octubre de 1954, Halle, Sajonia-Anhalt), matemático alemán. Estudió en la Universidad de Gotinga y, de 1910 a 1913, y en la de Estrasburgo. En 1912 se doctoró con una tesis dirigida por Heinrich Martin Weber. Desde 1913 fue profesor ayudante en la Universidad de Karlsruhey desde 1921, profesor en Aquisgrán. A partir de 1930 ocupó la cátedra de matemáticas de la Universidad de Halle. Su paso por Estrasburgo tiene seguramente alguna relación con la escuela que allí creó Charles Ehresmann. Brandtt no estaba motivado por la mecánica sino por ciertas estructuras que aparecían en su trabajo de teoría de números no conmutativa.

Alan Weinstein

El concepto de grupoide es unificador, y muy relevante en mecánica. A principios de los años 90 del siglo XX, Alan Weinstein lanzó lo que se conoce como “Programa de Weinstein”, animando a la aplicación de la teoría de grupoides de Lie a la mecánica. Y en fecto, la teoría aparece de manera natural al estudiar la mecánica discreta y los integradores geométricos. Pero también los objetos infinitesimales asociados a un grupoide de Lie, los llamados algebroides de Lie, son esenciales para desarrollar la teoría de Hamilton-Jacobi en sistemas noholónomos, esenciales en las ingenierías.

Pero hay otra línea de aplicaciones que Weinstein no consideró, y es que el concepto de grupoide también aparece en la mecánica de medios continuos. En esta área se estudia un modelo unificado para la mecánica de sólidos deformables, sólidos rígidos y fluidos sin tener en cuenta las posibles discontinuidades (de hecho, se supone que estas están distribuidas diferenciablemente y por eso se pueden aplicar las técnicas de la geometría diferencial). Uno de los principales retos es determinar si un cuerpo está hecho del mismo material en todos sus puntos, es decir, si es uniforme. Para ello, Walter Noll propuso en la década de 1960 una teoría alternativa al estudio de los continuos basada en la existencia de una ley constitutiva que dependía de las derivadas de las deformaciones de las que emanaban las propiedades materiales.

El comparar la composición del cuerpo en puntos diferentes se traduce en probar la existencia de isomorfismos materiales, invariantes por la ley constitutiva. Se podía establecer una operación entre estos, aunque para componerlos se necesitaba que uno acabara donde comenzaba el otro. Y esta estructura es precisamente la de grupoide. Si incluimos la diferenciabilidad, tendremos un grupoide de Lie, una extensión natural de los grupos de Lie. Las propiedades de un cuerpo material, por lo tanto, se reflejan algebraicamente en el grupoide material.

Este grupoide material nos sirve para introducir nuevos conceptos de uniformidad (como la uniformidad graduada), así como el estudio de la homogeneidad o su falta, es decir, la caracterización de posibles defectos en el material de estudio, como las dislocaciones y disclinaciones en el sentido de Vito Volterra.  Los resultados presentados en este texto han permitido desarrollar una teoría completa de fenómenos como el modelamiento de materiales, el envejecimiento o la morfogénesis.

Esperamos poder hablar más de estos temas en próximas entradas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).