Grandes aplicaciones de la matemática

El sexto número del ICMAT Newsletter estuvo dedicado al X Congreso del Instituto Americano de Ciencias Matemáticas (AIMS) que se celebró la semana pasada en Madrid, con la coorganización del ICMAT. El preportaje central, que reproducimos a continuación, destacaba las investigaciones de algunos de los conferenciantes plenarios del congreso.

Traducir la complejidad inabarcable del mundo en el que vivimos a modelos y ecuaciones que sirvan para entenderlo y, así, gozar de cierta capacidad de influencia sobre él, ha sido desde su origen uno de los principales objetivos de la matemática. Algunos de los ponentes principales del X Congreso del Instituto Americano de Ciencias Matemáticas (AIMS) que tendrá lugar del 7 al 11 de julio en Madrid, explican, bajo esta perspectiva, su trabajo.

Lorena Cabeza

Frenar la progresión tumoral, analizar nuevos materiales de características sorprendentes, diseñar misiones espaciales o restaurar obras de arte son solo algunos ejemplos en los que las matemáticas han sido la herramienta esencial para lidiar con problemas que, de otra manera, difícilmente se hubieran podido abordar. Además, la ciencia matemática cuenta con sus propios desafíos, algunos de ellos planteados hace siglos, y su solución abriría a buen seguro nuevas vías, algunas inimaginables hoy, para atajar estos problemas.

Las matemáticas se encuentran detrás de aplicaciones tan cotidianas como la navegación web, la predicción del tiempo o la ciberseguridad. Pero no solo eso. Según un informe encargado por el Consejo de Investigación en Ciencias Físicas e Ingeniería (EPSRC) de Reino Unido, la contribución estimada de las matemáticas a la economía de este país en 2010 era de alrededor de un 16% del valor añadido bruto (VAB) y un 10% de los puestos laborales, lo que muestra su aportación fundamental al crecimiento económico.

Las matemáticas guardan la llave de la puerta contra la que se topan las fronteras de la ciencia en su pugna por expandir el conocimiento y, con él, nuestra capacidad de influir sobre el entorno. Algunos de los mayores especialistas en sistemas dinámicos, ecuaciones diferenciales y aplicaciones, ponentes principales del X Congreso del Instituto Americano de Ciencias Matemáticas (AIMS) que se celebrará en el campus de Cantoblanco, en Madrid, reseñan cuál es su trabajo y cómo se relaciona con las aplicaciones más innovadoras, impactantes o inesperadas.

Philip Maini

Fórmulas vitales

Comprender cómo funciona la vida es atender a la integración de multitud de procesos que actúan a escalas muy diversas. El estudio de cada una de las melodías, si bien imprescindible, no puede otorgar la visión que aporta atender a la sinfonía como un conjunto. Philip K. Maini, catedrático de la Universidad de Oxford y uno de los mayores expertos en el mundo en el campo de la biología matemática, es rotundo: “Hasta la fecha, el único marco que tenemos con el que entender las complejas interacciones que ocurren en la biología son las matemáticas”.

Su trabajo está muy cercano a las aplicaciones, y además a aquellas que son, efectivamente, vitales. Y cita dos de ellas: una relativa al crecimiento tumoral y otra sobre la migración de células de la cresta neural en el embrión.

En la primera, explica, “investigamos cómo las células tumorales alteran el PH del cuerpo para favorecer su propia supervivencia a costa de las células normales. Esto conduce a la intrigante idea de que modificar la dieta puede ayudar a contener la progresión tumoral”.

En la segunda, él y su equipo estudian el control de la migración de células de la cresta neural, una estructura fundamental por dar lugar, en el desarrollo del embrión, a derivados como neuronas o células del sistema nervioso periférico, huesos y cartílagos de la cabeza, etc. Un desarrollo anormal de esta estructura puede tener, según Maini, consecuencias “catastróficas” para el embrión. El trabajo realizado por este investigador junto al Instituto de Investigación Médica Stower de Kansas, ha “sacado a la luz, utilizando modelos matemáticos, ideas completamente nuevas acerca de cómo este proceso es controlado”. Estas ideas han sido posteriormente validadas de forma experimental.

Para Maini, la relevancia de las matemáticas en este campo radica en que esta disciplina “puede convertirse en una parte integral de las armas utilizadas por los biólogos y médicos para combatir la enfermedad”. Las matemáticas, así, “pueden ayudar a probar y proponer nuevas estrategias terapeúticas, lo que podría ahorrar mucho dinero a las empresas en el desarrollo de medicamentos, así como reducir el número de experimentos necesarios”.

Cedric Villani junto a Manuel de León, director del ICMAT

Un embajador de las matemáticas

“Atrapar” la inmensa complejidad que subyace a un hecho tan cotidiano como el movimiento de las partículas de gas dentro de una habitación es uno de los asuntos de los que se ocupan las matemáticas, y, en concreto, uno de los campos de investigación en los que se ha centrado el científico francés Cédric Villani, ganador de la medalla Fields en el año 2010, director del Instituto Henri Poincaré en París y catedrático de la Universidad de Lyon. Villani encuentra su inspiración en el ámbito muy palpable de la física –“el mundo está lleno de problemas que esperan ser resueltos”, afirma-, y le fascina trasladar esa complejidad a la simplicidad, aparente, de una ecuación.

En los últimos tiempos, además, Villani se ha erigido en embajador de su disciplina gracias a la popularidad otorgada por la medalla Fields, su aspecto llamativo –lazo-corbata, broche con forma de araña y melena lisa-, su facilidad de palabra y la pasión que transmite en su discurso. No en vano, una de sus preocupaciones es el descenso de vocaciones científicas entre los jóvenes europeos, que pretende contribuir a atajar a través de la divulgación de la ciencia matemática.

Ha trabajado en teoría cinética, transporte óptimo y ecuaciones en derivadas parciales, especialmente en la ecuación de Boltzmann. Todos ellos son campos con varios siglos de historia, edificios inacabados, sin embargo, que la matemática de hoy intenta rematar.

La ecuación de Boltzmann, explica Villani, “permitiría, si se resolviera, predecir la evolución futura de un gas basándose en la distribución estadística de las posiciones y velocidades de sus partículas”. Por otro lado, el transporte óptimo se ocupa de cuál es la mejor forma de transportar materiales de una posición inicial a otra final.

Villani destaca que la investigación en transporte óptimo se ha aplicado a campos tan diversos como el procesado de imágenes, las matemáticas financieras, la cosmología o la meteorología. La ecuación de Boltzmann se usa cada día en la industria, especialmente en aeronáutica. Sin embargo, preguntado por cuál es el mayor impacto de su campo de investigación en nuestra sociedad, hoy, asevera: “Entender el mundo ya es un logro lo suficientemente bueno”. Y es que es precisamente de su fascinación por entender el entorno de donde nace la fuerza que le empuja cada día a divulgar y profundizar en la belleza de las matemáticas.

Carles Simò

Ecuaciones para el espacio

Carles Simó, catedrático de Matemática Aplicada de la Universidad de Barcelona y especialista en sistemas dinámicos, explica que todo aquello que evoluciona es, en última instancia, un sistema dinámico, y como tal lo analiza, se trate del sistema solar, la propagación de una epidemia o la interacción entre las neuronas. “La ventaja de este campo –afirma- es que muchas de sus herramientas, tanto teóricas como computacionales, pueden ser utilizadas para atacar problemas de muy distinta índole: el movimiento de los cuerpos celestes, el diseño y control de misiones espaciales, el diseño de reactores químicos, la mutación de virus, el láser, el calentamiento del Ártico, los sistemas ecológicos, el flujo de sangre en las arterias, el diseño de aceleradores de partículas, etc.”.

Simó, ganador en 2012 del Premio Nacional de Investigación catalán, fue el primero en introducir este tipo de análisis matemático al diseño de misiones espaciales, tarea en la que ha trabajado tanto con la Agencia Espacial Europea (ESA) como con la Agencia Espacial Norteamericana (NASA). “La idea clave –explica- es usar la ‘dinámica natural’ del sistema para ayudarnos a alcanzar el objetivo deseado. En los años 80 esto se veía como una ‘especulación matemática’, pero la solución de todos los problemas teóricos y el diseño herramientas simbólicas y computacionales exactas y eficientes ha convertido estas ideas en la metodología estándar”.

Dos son los desafíos que este matemático distingue en su área de investigación: uno, reducir la distancia existente entre el análisis teórico y las simulaciones numéricas ya que, señala, “hay muchos resultados teóricos que solo manejan resultados ‘existentes’ de algunos tipos de soluciones”. Los ordenadores son capaces de conseguir un gran número de resultados, pero no todos. ¿Y si uno de los que faltan es, precisamente, la mejor solución para un problema en concreto?

El segundo de los retos, según Simó, es, en muchos casos, “encontrar un modelo adecuado, lo suficientemente exacto y suficientemente simple”, algo que sucede en muchas cuestiones provenientes de manera directa del ámbito de la física, pero no en muchos problemas “reales”. “Estamos extremadamente lejos de ello en muchas cuestiones cruciales”.

Weinen E

De las partículas a los modelos

Los principios fundamentales de la física son, a menudo, conocidos, pero, ¿cómo pasamos de ellos a modelos matemáticos que nos sirvan para entender y, en última instancia, predecir el comportamiento de fenómenos reales con los que nos las tenemos que ver cada día? “La clave del asunto radica, en gran medida, en las matemáticas”, señala Weinen E, catedrático de Matemáticas de la Universidad de Princeton y especialista en modelos estocásticos y multiescala.

En este sentido, uno de los mayores desafíos se encuentra en la ciencia de los materiales y la química, donde el principio fundamental sobre el que se asienta la investigación es la mecánica cuántica. “En la práctica –explica E- se utilizan modelos macroscópicos para analizar el comportamiento de los materiales y aparatos. Nosotros pretendemos establecer un puente riguroso entre los principios fundamentales (de la mecánica cuántica) y modelos macroscópicos prácticos”.

Por ejemplo, se puede elaborar una “teoría de la elasticidad” partiendo de modelos atómicos. “Esto nos permite analizar el comportamiento mecánico de nanotubos usando el lenguaje convencional en mecánica de los sólidos”, además de “clarificar importantes conceptos, como la estabilidad”.

Otro problema existente en el ámbito de la ciencia de los materiales y la mecánica cuántica es que trabajar con modelos a esta escala requiere de ordenadores de gran complejidad y alto coste y, por lo tanto, de difícil acceso. Para abordar esta cuestión, Weinen E y sus colaboradores han desarrollado algoritmos que reducen en gran medida la dificultad computacional. Estos algoritmos han sido implementados en el software SIESTA (inicialmente desarrollado en España y cuyas siglas corresponden a Spanish Initiative for Electronic Simulations with Thousands of Atoms), de simulación de estructuras electrónicas y dinámica molecular.

“Los científicos de las diferentes disciplinas tienen la ventaja de contar con mucha experiencia e intuición. Pero para sistemas muy complejos, la intuición puede confundirnos. Las matemáticas traen otra perspectiva, racionalidad y claridad”, concluye el investigador.

Ingrid Daubechies

Algoritmos en ayuda del arte

Si hubiera que elegir una sola palabra para caracterizar el trabajo de Ingrid Daubechies, bien podría ser “interdisciplinariedad”. Esta catedrática de la Universidad de Duke (Estados Unidos), hoy presidenta de la Unión Matemática Internacional (IMU), comenzó su carrera como física teórica e inició una transición hacia las matemáticas motivada por la gran necesidad de nuevas herramientas de este tipo de la que adolecía su disciplina de origen. En el año 2012 recibió el Premio FBBVA Fronteras del Conocimiento por sus trabajos en ondículas, que ha sido aplicado, por ejemplo, al estándar de compresión de imágenes JPEG 2000.

Daubechies se deja llevar por el interés que le suscitan problemas de otras áreas, como el arte: “Alguien llamó mi atención sobre el hecho de que el análisis de imagen puede usarse para distinguir el trazo de un artista” y comprobar, por ejemplo, la autenticidad de una obra.

El último trabajo que ha llevado a cabo, y sobre el que hablará en su conferencia en AIMS 2014, trata precisamente sobre ello. Daubechies, junto a otros colaboradores de la Universidad de Bruselas (Bélgica) y el Museo de Arte de Carolina del Norte (Estados Unidos), ha desarrollado un algoritmo que permite visualizar los trazos originales de los artistas a través de rayos X, lo que permite conocer mejor la técnica utilizada, las condiciones de elaboración de la pintura y el estado de conservación.

Entre los siglos XII y XVII, los artistas europeos pintaban en tableros de madera. Posteriormente, en los siglos XIX y XX, los conservadores adelgazaron estos tableros y colocaron un bastidor, ya inseparable de la obra, para prevenir posibles daños. Estos bastidores, sin embargo, dificultan el estudio de la obra original a través de rayos X, una técnica muy utilizada actualmente para estudiar las condiciones de la pintura.

Hasta ahora era posible eliminar la imagen del bastidor de la obtenida con rayos X de manera manual, si bien se trataba de una tarea complicada que se podía llevar a cabo tan solo en un número limitado de obras pictóricas. Los investigadores pensaron que una forma más automatizada sería de gran ayuda para los conservadores de los museos. Los resultados obtenidos han resultado ser satisfactorios y semejantes a las técnicas empleadas hasta la fecha. Y es que las matemáticas y el arte caminan de la mano en más ocasiones de las que se podría pensar.

Diego Córdoba

A la búsqueda de singularidades

Levantarse y comprobar cuál es la predicción meteorológica para ese día es, a menudo, todo uno. Nadie suele reparar en que las ecuaciones que hacen posible contar con una predicción del tiempo tan precisa se deban al trabajo del eminente matemático del siglo XVIII Leonhard Euler y a la contribución añadida, en el siglo XIX, de los también insignes Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Todavía menos se piensa en que la búsqueda de soluciones a estas ecuaciones está inconclusa, y que científicos de primera línea de todo el mundo dedican sus esfuerzos a desentrañar el misterio que todavía hoy rodea a estas fórmulas.

En este campo, el de la mecánica de fluidos y las ecuaciones de Navier-Stokes, centra su investigación Diego Córdoba, investigador del ICMAT y ex profesor de la Universidad de Princeton que recibió en 2008 una de las prestigiosas ayudas Starting Grant del Consejo Europeo de Investigación (ERC). En concreto, Córdoba se dedica al estudio de la formación y desarrollo de singularidades en fluidos incompresibles (es decir, aquellos fluidos cuyo volumen se conserva). En matemáticas, una singularidad es un comportamiento inesperado al introducir una variable en una función, por lo demás, continua. En la vida real estas singularidades toman la forma de olas en el momento de la ruptura, tornados, remolinos o frentes de aire frío y caliente. Ahora bien, ¿es posible explicar qué sucede en estos casos a partir de las ecuaciones que modelizan la dinámica de los fluidos?

“El problema es que resolver estas ecuaciones es imposible, o al menos ha sido imposible hasta la fecha”, explica Diego Córdoba. La potencia de los ordenadores permite realizar aproximaciones muy precisas que se utilizan no solo para predecir el tiempo atmosférico, sino también para otras aplicaciones como el diseño de aviones más eficientes o coches de Fórmula 1 más veloces.

La investigación de Diego Córdoba está relacionada con uno de los ‘Problemas del Milenio’, cuya solución se premia con un millón de dólares. ¿Creen los especialistas que está cerca el momento de resolver este problema? Córdoba opina que “si Navier-Stokes no tiene singularidades, dentro de no muchos años habrá una demostración en esa dirección. Sin embargo, si las tiene, puede llevar mucho tiempo y es posible que no lleguemos a verlo. Es más fácil demostrar que no las hay a que sí. Si hay singularidades, una simulación numérica nunca va a encontrarlas. Tiene que haber ideas nuevas revolucionarias para poder demostrar algo así”.

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Boletín ICMAT

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) lanza este boletín con el que quiere mostrar a la comunidad científica y a todos aquellos interesados en el avance de esta disciplina la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro. En él se incluirán, además, contenidos matemáticos divulgativos dirigidos al público general. El boletín quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera más amplia, en un centro de excelencia de investigación matemática. Se presentarán temas de interés relacionados con la investigación matemática actual, la actividad científica del centro y algunos de los perfiles desatacados de la comunidad científica.

Los autores de estos artículos son los propios investigadores del Instituto u otros matemáticos que colaboren con el ICMAT, además de un equipo especial dedicado a la comunicación de las matemáticas.