Hay que jugar con las mates. Números poligonales

Algunos padres me preguntan qué pueden hacer para que a sus hijos les gusten las matemáticas. Suelo responder que intenten tomarse la asignatura cómo un juego de números. Es importante jugar con las mates.

Si el alumno “cambia el chip” y trata de ver las cosas de una manera más lúdica, creo que tiene mucho ganado.

Hoy vamos a representar a los números de forma geométrica. Si! Los números también tienen formas! Si consideramos a los números como puntos materiales, como canicas, podemos realizar con ellos configuraciones geométricas claras. Y podemos jugar con ellos!

Se llaman números figurados a aquellos números que pueden representarse mediante figuras geométricas “regulares”

Cuadrados

¿Cómo son los números cuadrados? La respuesta es de Perogrullo, y puedes verla en la siguiente imagen.

Si contamos los puntos, vemos que el primer “cuadrado” está formado por un solo punto. Para Pitágoras y su hermandad, el número 1 era el más importante. Tenemos una buena base. Si sigues sumando los puntos que hay en los próximos cuadrados obtendrás los números cuadrados 1,4,9,16,25,36,49,64, … (¿Sigue algún patrón esta secuencia de números? ¿Puedes adivinarla?)

Los números anteriores se llaman cuadrados perfectos. Observa que para pasar de un cuadrado perfecto al siguiente, únicamente se añade una “capa de puntos” en forma de L invertida. Por ejemplo 9+7=16

Montones de piedras

Vamos con los números triangulares. ¿No te recuerdan a un montón de piedras?

Al contar estos puntos obtenemos estos números: 1,3,6,10,15,21,28,36, …

Observa el patrón de construcción. ¿cómo puedes obtener un número triangular a partir del anterior? Fácil, ¿verdad? Sólo tienes que ir “sumando filas de piedras”.

Por ejemplo, ¿cual es el número triangular que va después del 10? Tendrá 5 puntos en la última fila, por tanto 10+5=15

Pensando un poco (eso es lo bonito de las matemáticas) puedes darte cuenta de que un número triangular se puede obtener sumando números naturales consecutivos (10=1+2+3+4)  y un número cuadrado siempre es el producto de cualquier número natural por si mismo (el cero no juega)

Acabamos de ver que los primeros 4 números naturales suman 10. ¿Cuánto suman los primeros 8 números naturales? ¿Y los primeros 100? Esta pregunta se la hicieron en la escuela a un genio llamado Gauss cuando tenía 10 años. Lo resolvió fácilmente. Puedes verlo en el siguiente vídeo.

Conexiones

Vamos a comparar los números cuadrados con los triangulares. Quitando el 1, ¿Ves algún número que aparezca en las dos listas?

Cierto! El 36 es un número triangular y cuadrado al mismo tiempo. ¿Te atreves a encontrar otro número triangular cuadrado? Te recomiendo que uses una hoja de cálculo tipo Excel, porque es mayor que mil. Puedes dejar tu “hallazgo” en los comentarios del blog.

Hay otra conexión más hermosa. ¿Qué pasa si coges dos números triangulares sucesivos y los sumas? ¿qué obtienes? No dejes de formularte preguntas, así es como se aprende. Recuerda la importancia de jugar con las mates.

Obtendrás un cuadrado. Esto tiene su lógica. Si piensas en un cuadrado compuesto por 4 filas de 4 puntos, en el cual se ha trazado una línea diagonal. Observa en la siguiente imagen que los puntos que están encima de la línea forman un número triangular, y debajo de esta línea está el siguiente número triangular. Este funciona con cualquier cuadrado, no importa su tamaño.

Siempre se cumplirá esto: Todo número cuadrado es la suma de dos números triangulares consecutivos.

También se cumple otra verdad universal. La suma de los n primeros números impares es un número cuadrado.

            

Eureka!!

Seguramente esta fue la expresión de júbilo del joven Gauss, cuando realizó estos descubrimientos siendo muy joven:

Celebraba haber descubierto que todo número natural es la suma, como mucho, de tres números triangulares.

Por ejemplo, el número perfecto 28 es igual a la suma de 3+10+15

También demostró que todo número natural es la suma de, como mucho, cuatro números cuadrados. Por ejemplo 30=1+4+9+16

Cuando menos resulta curioso, y se trata de un buen homenaje a Pitágoras, al que se puede considerar el padre de la Teoría de Números. A los pitagóricos les debemos el nacimiento mismo de las Matemáticas; ellos fueron los que introdujeron la idea de que los objetos matemáticos, los números y las figuras geométricas son ideas de la mente, abstracciones.

Hay que jugar con las mates

Podemos seguir “construyendo” números. Sólo hace falta un poco de visión geométrica. Es relativamente sencillo descubrir los números pentagonales:

Fíjate que el número de puntos en cada lado se va incrementando de uno en uno. ¿Te atreves a seguir la serie? Observa que ahora se van formando como un collar de puntos.

Igualmente puedes pasar un buen rato construyendo números hexagonales. Siguen esta serie numérica: 1, 6, 15, 28…

Creo que puede ser un buen ejercicio para tí o para tu hijo calcular los siguientes términos de la series de números planteadas.

Observa que todas las series numéricas que hemos visto en este artículo, son progresiones aritméticas. Tienes que ver de que forma se van formando los diferentes números, uno tras otro.

Para que puedas verlos todos juntos, te resumo las series de números poligonales que hemos visto, y te dejo un vídeo hecho con Geogebra.

Triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36

Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …

Pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, …

Hexagonales: 1, 6, 15, 28, 45,…

Si quieres profundizar sobre el tema, aquí te dejo un gran trabajo acerca de los números estrella, donde también se habla de números poligonales.

Investiga por tu cuenta, hazte preguntas y juega con las matemáticas. Los números poligonales, son una caja de sorpresas. Dan para mucho juego. ¿Los conocías? ¿Te resultan interesantes?

Fuente 1

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