Historias de Pi: calculando el área del círculo

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r² se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S₄ el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S₄  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S₈ . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área S_n sea menor que E. Entonces el área del polígono será P_n = A – G_n, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).