Historias de Pi: en búsqueda de la identidad

En entradas anteriores hemos visto como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era constante, la misma que nos da la relación entre el área de un círculo y el cuadrado de su radio. A esa constante la bautizamos como número π. Pero, ¿cuál es la naturaleza de este intrigante número cuyas cifras decimales no terminan nunca?

William Oughtred

Para investigar sobre sus señas de identidad, vayamos primero al nombre,  y también a la notación, al símbolo que lo representa. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de dos palabras griegas: περιφέρεια (periferia) y περίμετρον (perímetro). Esta notación se debe al matemático y clérigo inglés William Oughtred (1574-1660) (a quien, por cierto, se le deben muchas otras notaciones); previamente se representaba por la letra p. Oughtred usaba la relación π/δ, donde δ era el diámetro en su obra Clavis Mathematicae (1647).

William Jones

Más adelante, el matemático galés William Jones (1675-1749) en su obra de 1706, Synopsis Palmariorum Matheseos, utiliza la letra griega π en la discusión de un círculo con radio uno tal como se muestra en la imagen

Jones, sin embargo, comenta que esas ocasiones son debidas “al ingenioso Sr. John Machin (1686-1751), quien en 1706 consiguió el logro de calcular 100 cifras decimales de pi. Así que quizás Machin fue al auténtico padrino. En cualquier caso, los matemáticos siguieron usando la notación en fracción de Oughtred hasta que Leonhard Euler la popularizó en sus obras Mechanica (1736) e Introductio in analysin infinitorum (1748). La influencia de Euler pudo con cualquier otro intento, como el previo de denominarlo constante de Ludolph, en honor al matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610), quién había calculado valor de π con una aproximación de 20 cifras decimales en su libro Van den Circkel (1596) que extendió a 35 algo más tarde. Después de su muerte, el “Número de Ludolphine”,

3,14159265358979323846264338327950288…,

fue grabado en la lápida de su tumba en Leiden.

Réplica de la tumba de Ludolph van Ceulen

Aparte de estas pinceladas acerca del nombre, lo esencial era determinar su naturaleza como número.

π  es un número irracional, es decir, no puede expresarse como fracción de dos números enteros: Este hecho lo demostró el matemático suizo-alemán Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Lambert expresó  π  como una fracción continua infinita. Como una fracción continua finita se puede expresar mediante un número racional y viceversa, si π fuera racional, debería existir tal fracción continua.

Johann Heinrich Lambert

Más adelante, Charles Hermite encontró una prueba que no requiere ningún conocimiento previo más allá del cálculo básico. Y otras simplificaciones de esta prueba de Hermite son debidas a Mary Cartwright, Ivan Niven y al grupo Nicolas Bourbaki. Otra prueba, simplificación de la prueba de Lambert, se debe a Miklós Laczkovich.

En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π no sólo es irracional, sino también trascendental, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros.

Carl Louis Ferdinand von Lindemann

También se sabe que π no es tampoco lo que se llama un número de Liouville, que son aquellos números trascendentes que no se pueden aproximar por una sucesión de números racionales “rápidamente convergente”, o en otras palabras, los “mejor aproximados” por racionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).