Jóvenes investigadores del ICMAT en el ICM: Guixiang Hong (2)

En el séptimo número del ICMAT-Newsletter  se ofreció un reportaje con los perfiles de los jovenes investigadores del ICMAT que acudieron al ICM2014, así como reseñas de los trabajos que presentaron en el gran congreso de las matemáticas. En el blog estamos ofreciendo los contenidos uno a uno, y el siguiente es el del estudiante postdoctoral Guixiang Hong.

Guixiang Hong: “Me he beneficiado mucho de hacer matemáticas, me ha ayudado a corregir mi intuición y aclarar mi confusión”

Contratado Severo Ochoa en el ICMAT desde el año 2012, Guixiang Hong obtuvo su licenciatura en  Matemáticas en el año 2007 en China, donde también realizó el Máster en la Universidad Normal de Beijing (China). Allí empezó su interés por el análisis armónico y el análisis de Fourier.  Después, Guixiang Hong obtuvo su doctorado en la Universidad de Franche-Comté (Francia) en 2012, con una tesis titulada “Problemas en Análisis Armónico No Conmutativo”. Actualmente,  sus áreas de investigación son el análisis funcional, el análisis armónico, la probabilidad cuántica y la teoría ergódica. Los métodos que utiliza incluyen álgebra de operadores y espacios operadores. Por otro lado, el análisis armónico semiconmutativo está relacionado estrechamente con el valor vectorial, lo que le ha motivado a considerar los problemas en análisis armónico de valor vectorial. La esencia de una buena parte de su investigación radica en la fructífera interacción entre análisis armónico y martingalas.

Afirma que se siente orgulloso del desarrollo su tesis: “Antes de llegar a Francia no sabía nada acerca de las álgebras de Von Neumann, ni de espacios operadores, probabilidad cuántica, etc. Pasé el primer año aprendiendo sobre estos aspectos. En el segundo año, surgieron tres problemas, que finalmente resolví con la ayuda de mi supervisor y mis colaboradores en el tercer año”.

Sobre su relación con las matemáticas, destaca “la exactitud” como una de las principales características de esta disciplina, y señala: “Si quieres hacer una afirmación matemática, tienes que probar que se basa en hechos. En mi vida diaria, me he beneficiado mucho de hacer matemáticas de esta manera, ya que me ha ayudado a corregir mi intuición y aclarar mi confusión”.

Teoremas ergódicos no conmutativos. Guixiang Hong (ICMAT).

La teoría ergódica es una rama de las matemáticas que estudia los sistemas dinámicos con una medida invariante, como por ejemplo, el volumen. Su desarrollo inicial estuvo motivado por problemas de física estadística como el análisis del comportamiento de las moléculas de un gas dentro de un recipiente.

Uno de los problemas centrales de esta teoría es entender el movimiento del sistema dinámico durante un largo periodo de tiempo. Uno de los primeros resultados en ese sentido es el teorema de recurrencia de Poincaré, que asegura que cualquier sistema con una cantidad finita de energía y confinado en un volumen espacial finito retornará, tras un tiempo lo suficientemente largo, a un estado arbitrariamente próximo al inicial.

Varios teoremas ergódicos posteriores dan información más detallada de este fenómeno: aseguran que bajo ciertas condiciones, existe siempre un promedio de tiempo de una función sobre las trayectorias y está relacionado con la media de espacio. La trayectoria de un punto es el conjunto de todas las posiciones o estados del mismo a lo largo del tiempo. Por tanto, una función sobre las trayectorias puede ser la posición, momento lineal, angular, temperatura…de esos puntos. En consecuencia, en un promedio de tiempo, las características del sistema dinámico estarán distribuidas homogéneamente en el espacio (por ejemplo, la temperatura acabará siendo similar en todas las trayectorias).

Uno de los teoremas más importantes en este tema es de Birkhoff (1931) y asegura que en casi todo punto existe el promedio/media en el tiempo de la función (para cada trayectoria) y que es el mismo que para los estados iniciales (media en espacio). En un sentido estadístico, podríamos decir que el sistema que evoluciona durante un largo periodo de tiempo “olvida” su estado inicial, en el sentido de que, si tenemos una función definida en el sistema, cuando pasa el suficiente tiempo el valor de la función tiende a hacerse constante (igual al promedio en espacio), perdiendo así la información puntual de la función.

En 2007 Marius Junge y Quanhua Xu establecieron una analogía no-conmutativa del resultado de Birkhoff, el Teorema Maximal de Dunford-Schwartz. En particular, demostraron el teorema de maximal ergódico para el grupo R, actuando en espacios Lp no conmutativos. A eso le siguió la resolución del teorema para acciones libres de grupos, por Anantharaman y Hu. Los investigadores llegaron al mismo resultado de manera independiente, empleando caminos diferentes.

El trabajo que Guixian Hong presentó en el ICM continua en esta línea, y es el primer paso para establecer teoremas ergódicos no conmutativos para acciones que preservan la traza de grupos localmente compactos y contables. Es un resultado análogo de los teoremas de maximal ergódico asociados a la secuencia de medias esféricas del grupo de Heisenberg. Las herramientas utilizadas en su demostración provienen de la teoría de espacios de operadores, de la geometría no conmutativa, de los métodos espectrales clásicos, de la teoría de Littlewood-Paley-Stein y la interpolación analítica.

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Boletín ICMAT

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) lanza este boletín con el que quiere mostrar a la comunidad científica y a todos aquellos interesados en el avance de esta disciplina la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro. El boletín quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera más amplia, en un centro de excelencia de investigación matemática. Se presentan temas de interés relacionados con la investigación matemática actual, la actividad científica del centro y algunos de los perfiles desatacados de la comunidad científica, presentados para público general con interés por la ciencia.  Los autores de estos artículos son los propios investigadores del Instituto u otros matemáticos que colaboren con el ICMAT, además de un equipo especial dedicado a la comunicación de las matemáticas.