La circunferencia de los nueve puntos

Desde la publicación de mi libro La engañosa sencillez de los triángulos (De la fórmula de Herón a la criptografía) he impartido varias conferencias sobre el mismo, en diferentes contextos, y en cada una han surgido nuevos temas que en su día no se trataron en el libro pero que podían haber sido parte de su contenido. Una muestra más de lo acertado del título. En esta entrada trataremos una de estas curiosas propiedades de los triángulos.

Consideremos un triángulo arbitrario, y sobre él los siguientes nueve puntos:

• los puntos medios de los tres lados del triángulo,
• los pies de las alturas del triángulo,
• los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro del triángulo.

Y recordemos que el ortocentro del triángulo es el punto en el que cortan las tres alturas.

Nuestro teorema dice que existe una circunferencia que pasa por esos nueve puntos, tal y como muestra la siguiente figura:

Hay muchas otras propiedades sorprendentes de esta circunferencia, pero nos vamos a limitar a contar algunas cosas sobre su historia. Se atribuye el descubrimiento al matemático alemán Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), profesor en la Universidad de Erlangen. Su resultado está contenido en su libro Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung, publicado en 1822. Su teorema original no incluye los nueve puntos, sino solo seis, ya que no consideró los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro del triángulo. Este teorema fue también probado poco después por los matemáticos franceses Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet. Pero fue otro matemático francés, Olry Terquem (1782-1862), quién completó el resultado con los nueve puntos.

Karl Feuerbach

A pesar de la belleza de este resultado, la vida de Karl Feuerbach fue corta y muy difícil. Hijo de un afamado jurista, Paul Feuerbach, en una familia de once hijos, todos muy brillantes. Karl destacó pronto por sus habilidades en matemáticas y física, pero se metió en problemas muy joven. Miembro de una organización estudiantil de carácter político, fue arrestado junto con otros 19 compañeros. Creía que solo su muerte podría liberar al resto de compañeros e intentó suicidarse en un par de ocasiones. Finalmente fue liberado y continuó con las matemáticas; consiguió un empleo en Erlangen como profesor, pero su salud mental estaba muy tocada. Un día apareció en clase con una espada desenvainada y amenazó con cortar la cabeza de cada estudiante de la clase que no podía resolver las ecuaciones que había escrito en la pizarra. Después de este episodio se retiró permanentemente. Dejó que su cabello, barba y uñas crecieran sin control, no daba señales de reconocimiento a sus visitantes, murmuraba en voz baja sin que se le entendiera. Pocos años después, fallecía en Erlangen.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).