La conjetura abc podría resolver el problema diofantino de números enteros

El mundo de las matemáticas por lo general tranquilo, es estos días un hervidero debido a la posible solución a uno de los problemas más importantes en teoría de números.

El matemático Shinichi Mochizuki de la Universidad de Kioto en Japón ha lanzado una prueba de 500 páginas de la Conjetura abc, que propone una relación entre los números enteros  (un problema llamado  ”Diofantino”).

La Conjetura abc, propuesta independientemente por David Masser y Joseph Oesterle en 1985, podría no ser tan familiar para el resto del mundo como el último teorema de Fermat, pero en algunos aspectos es más importante. “La Conjetura abc, si se demuestra como cierta, resolvería de un plumazo muchos problemas diofánticas famosos, entre ellos el último teorema de Fermat “, dice Dorian Goldfeld, matemático de la Universidad de Columbia en Nueva York. “Si la demostración de Mochizuki es correcta, será uno de los logros más sorprendentes de las matemáticas del siglo XXI.”

Al igual que el teorema de Fermat, la Conjetura abc  se refiere a las ecuaciones de la forma a + b = c . Esto implica el concepto de un número libre de cuadrados: uno que no puede ser dividido por el cuadrado de cualquier número. 15 y 17 son cuadrados libres, pero 16 y 18  (que son divisibles por 4 ² y 3 ² , respectivamente) no lo son.

La parte libre de cuadrados de un número n, sqp(n), es el mayor número libre de cuadrados que puede formarse mediante la multiplicación de factores de n que son números primos. Por ejemplo, sqp(18)=2×3=6.

Si se ha captado esto, entonces ya se debería tener una idea de la conjetura abc: trata de la propiedad del producto de tres enteros axbxc, o abc  (o más específicamente, de la parte libre de cuadrados de este producto, que implica sus factores primos distintos). Afirma que para los enteros a+b=c, la proporción de sqp(abc)^r/c tiene siempre un valor mínimo mayor que cero para cualquier valor de r mayor que 1. Por ejemplo, si a=3 y b=125, de forma que c=128, entonces sqp(abc)=30 y sqp(abc)²/c = 900/128. En este caso, en el que r=2, sqp(abc)^r/c casi siempre es mayor que 1, y siempre mayor que cero.

Resulta que esta conjetura resume muchos otros problemas diofánticos, incluyendo el último teorema de Fermat (que establece que un ⁿ + b ⁿ = c ⁿ no tiene soluciones enteras si n > 2). Como muchos otros problemas diofánticos, todo en ello es acerca de las relaciones entre los números primos. De acuerdo con Brian Conrad de la Universidad de Stanford en California:  ”codifica una profunda conexión entre los factores primos de a, b y a+ b ”.

Muchos matemáticos han dedicado un gran esfuerzo para tratar de probar la conjetura. En 2007, el matemático francés Lucien Szpiro, cuyo trabajo en 1978 llevó a la conjetura  antes que a nadie, afirmó tener pruebas de ello, pero pronto resultó ser una solución deficiente.

Al igual que Szpiro, y el matemático británico Andrew Wiles, que demostró el último teorema de Fermat en 1994, Mochizuki ha atacado el problema con la teoría de curvas elípticas; las suaves curvas generadas por las relaciones algebraicas de la especie y ² = x ³ + ax + b .

Hay, sin embargo, cesa la relación  de Mochizuki con los esfuerzos anteriores. Ha desarrollado técnicas que muy pocos matemáticos comprenden en su totalidad y que invocan nuevas matemáticas de “objetos”; entidades abstractas análogas a ejemplos más conocidos, como objetos geométricos, conjuntos, permutaciones, topologías y matrices. “En este momento, él es probablemente el único que entiende todo”, dice Goldfeld.

Conrad dice que la obra “utiliza una gran cantidad de conocimientos que llevarán un largo tiempo ser digeridos por la comunidad matemática”. La prueba se extiende en cuatro largos artículos, cada uno de las cuales se apoya en anteriores documentos. “Se requiere una gran inversión de tiempo para entender una demostración tan larga y sofisticada, así que la voluntad de otros para hacer esto se apoya no sólo en la importancia del anuncio, sino también en la trayectoria de los autores”, explica Conrad.

La carrera de Mochizuki sin duda hace que el esfuerzo valga la pena. “Ha demostrado teoremas muy profundos en el pasado, y es muy cuidadoso en su escritura, de modo que proporciona una gran confianza”, dice Conrad. Y añade que el premio sería más que una cuestión de simplemente verificar la solución. ”El aspecto interesante no es sólo que la conjetura pueda haber sido resuelto, sino que las técnicas y conocimientos utilizados son muy poderosas para la solución de problemas en el futuro de la teoría de números”.

Autor: Philip Ball

Enlace original: Proof claimed for deep conection between primes