Manuel de León (ICMAT-CSIC) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC) continuan en esta entrada con su exploración de la relación entre música y matemáticas. Para empezar el relato, como no podía ser de otra manera, recurren a Pitágoras. Para este importante personaje de la Grecia Antigua, y para su escuela, la conexión entre las matemáticas y la música era evidente y decisiva para sus vidas.
If man in 5, then the devil is 6, then god is 7…
There was a guy
An under water guy who controlled the sea
Got killed by ten million pounds of sludge
From New York and New Jersey
This monkey’s gone to Heaven
The creature in the sky
Got sucked in a hole
Now there’s a hole in the sky
And the ground’s not cold
And if the ground’s not cold
Everything is gonna burn
We’ll all take turns, I’ll get mine too
This monkey’s gone to Heaven
Rock me Joseph, Alberto, Santiago
If Man is five, if Man is five, if Man is five
Then the Devil is six, then the Devil is six
The Devil is six, the Devil is six and if the Devil is six
Then God is seven , then God is seven
La afirmación de que la música y las matemáticas están relacionadas se ha convertido ya en un hecho indiscutible. Cualquiera que se haya acercado a la música sabe que está llena de patrones, simetrías, repeticiones, etc. que no son sino el reflejo de su contenido matemático.
Cuando se habla del origen de esta relación entre música y matemáticas, uno empieza siempre recurriendo a Pitágoras. Recordemos algunos datos sobre este importante personaje de la Grecia Antigua. Como ocurre con muchos personajes de la antigüedad, no existen datos muy fiables sobre la vida de Pitágoras. Por ejemplo, en el libro Vidas de filósofos ilustres, de Diógenes Laercio, los datos son a veces contradictorios. La causa en este caso es que no hay biografías de algún contemporáneo suyo así como la naturaleza esotérica de la comunidad pitagórica.
El filósofo y matemático griego Pitágoras, nació en 569 a.C. en una pequeña isla oriental griega, Samos. Su padre fue Mnesarco, un mercader de Tiro, y al parecer, Pitágoras lo habría acompañado a muchos de sus viajes. Se suelen mencionar como maestros de Pitágoras a Ferécides de Siros, a Tales y a su pupilo, Anaximandro. Estos dos últimos lo llevaron a interesarse por las matemáticas.
Se supone que Pitágoras visitó Egipto, Babilonia y se habla incluso de la India, con el propósito de recolectar todo el concimiento de su tiempo. La visita a Egipto parece estar basada en las alianzas del rey de Samos, Polícrates, con los egipcios. Finalmente, Pitágoras se establece en el sur de Italia. Según Diógenes, Piatágoras eligió Crotona escapando de la tiranía de Polícrates, pero no está claro que esta haya sido la causa y si quizás el escaso éxito de Pitágoras en su ciudad natal.
A su llegada, funda su escuela, la llamada escuela Pitagórica, en el golfo de Tarento. Desafortunadamente, esta escuela duró en su primera sede menos de un siglo, y fue destruida por causas políticas. No obstante, los fundamentos de la escuela perduraron en Alejandría y países aledaños como Grecia, durante siglos después.
La escuela pitagórica atrajo enseguida numerosos seguidores. Practicaba el ascetismo y eran vegetarianos, y se basaba fundamentalmente en las matemáticas. Se llamaban a sí mismos matemáticos (matematikoi), y observaban estrictas reglas de conducta personal.
Los pitagóricos más conocidos fueron contemporáneos de Platón, como Arquitas, “el tirano de Tarento”, Hiceas de Siacusa (quien intuye por primera vez la rotación de la tierra sobre su propio eje) o Efkanto, quien avanza la teoría del atomismo desarrollada más tarde por Demócrito y Leucipo. Durante los siglos posteriores, el pitagorismo sigue vigente, aunque no existan muchas referencias históricas sobre sus miembros.
Los propósitos de la escuela estaban claramente basados en creencias religiosas. La clave principal consistía en explicar los misterios del universo para conseguir la posterior purificación del alma. El medio para llegar al principio de todas las cosas y su salvación, eran las matemáticas. La fundamentalización religiosa del grupo fue tan importante, que estaba prohibido el sacrificio de animales, pues sus cuerpos podrían ser la futura morada de su alma, ya que los pitagóricos creían en la transmigración (la metempsicosis).
Los pitagóricos se centraron especialmente en la geometría y los números. De hecho, el emblema de la escuela era una estrella pentagonal, que se forma al trazar las cinco diagonales de un pentágono. Esta figura encierra relaciones aúreas que lo hacían sumamente interesante para los pitagóricos.
El número se convirtió en el ente raíz de todos los objetos y pensamientos. El mismo Pitágoras decía: “Dios, es en efecto, un número”. Según Diógenes Laercio, Pitágoras afirmaba: “Que el principio de todas las cosas es la unidad, y que de ésta procede la dualidad, que es indefinida y depende, como materia, de la unidad que la causa. Así, la numeración proviene de la unidad y de la dualidad indefinida. De los números provienen los puntos; de éstos, las líneas; de las líneas, las figuras planas; de las figuras planas, las sólidas, y de éstas los cuerpos sólidos, de los cuales constan los cuatro elementos, fuego, agua, tierra y aire, que trascienden y giran por todas las cosas, y de ellos se engendra el mundo animado, intelectual, esférico, que abraza en medio a la tierra, también esférica y habitada en todo su rededor“.
En particular, a los pitagóricos les llamaba la atención los denominados números perfectos. Son los números que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto él mismo, por ejemplo, el 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3.
También mostraron especial interés por los denominados números cuadrados. Se formaban tomando el 1 como punto de partida y se le suma la serie ascendente de números impares. La progresión aritmética que surge tiene la propiedad de que en cada uno de los pasos de su construcción, la suma de la unidad y de los números impares da un número expresable en un cuadrado perfecto. Por ejemplo:
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
Por supuesto que podríamos mencionar el famoso Teorema de Pitágoras y muchos otros resultados vinculados con los logros de Pitágoras y sus discípulos, pero no es este el lugar para un detalle exhaustrivo sobre este personaje. Comentar que no se tienen muchos detalles sobre su muerte; parece que en 508 a.C. los pitagóricos de Crotona fueron violentamente atacados y Pitágoras escapó a Metaponto, sonde murió.
Sin embargo, los pitagóricos también hicieron especial hincapié en dos disciplinas, a priori, no tan relacionadas con las matemáticas, la música y la astronomía. De aquí surgió posteriormente el Quadrivium medieval, o clasificación de sus ciencias de interés en aritmética, geometría, música y astronomía. La música fue de hecho muy influyente en el pensamiento de Pitágoras.
Dado que los números estaban presentes en cualquier entidad, desde el punto de vista pitagórico-matemático, (quepa el inciso de que a día de hoy, los matemáticos estamos de acuerdo con esta afirmación de hace 25 siglos), Pitágoras se dedicó a la identificación de los patrones matemáticos en la música.
Según los relatos del filósofo romano Boecio, Pitágoras, obsesionado con explicar los intervalos fijos de la escala musical, se detenía frente a los golpes de un martillo contra un yunque en la herrería. Había un total de cinco martillos, de los cuales cuatro tenían una relación numérica entera entre sus pesos, y el quinto no se identificaba con el resto. Intuitivamente, el quinto martillo no contribuía en armonía y efectivamente, una vez retirado del experimento, podía comprobarse que el más pesado de los martillos, con un peso doble que uno de los restantes, producía sonidos en una octava menor. El peso de los dos martillos restantes seguía otra regla matemática, se correspondían con la media aritmética y armónica de los otros dos pesos probados. Así, pues, los otros dos pesos podrían dar otras dos notas fijas de la escala.
Se demostró que los intervalos entre notas musicales pueden ser representados como fracciones de números naturales. Podría probarse explícitamente con una cuerda denominada monocordio, y un elemento que presione en ciertas partes equidistantes de la cuerda y que fraccionen su longitud. Las posiciones fraccionarias mostraron ser más armoniosas que la nota emitida por la longitud completa al tensarla.
Desde entonces, se hicieron múltiples experimentos con cuerdas y tubos sonoros, que han acabado creando música. Las columnas de aire, en ciertos tubos, se comportan también como las cuerdas musicales. Vamos a explicar este fenómeno de una manera sencilla. Si tomamos una cuerda de 1 metro de longitud, y la tensamos y hacemos vibrar, se produce una nota musical. Podemos comprobar que cuanto mas larga sea la cuerda, más grave es la nota. Si tomamos dos cuerdas de diferente longitud, veremos que a veces las dos notas suenan mejor y otras peor.
Lo que aprendemos es que si la relación entre las longitudes de las dos cuerdas viene dada por una fracción simple, con números enteros en numerador y denominador, las notas que producen ambas suenan bien juntas. Por ejemplo (relación 2/1), 4/3 ó 3/2. Procediendo de esta manera, vamos construyendo lo que se llama la escala musical pitagórica. Así pues, para Pitágoras y sus discípulos, la conexión entre las matemáticas y la música era evidente y decisiva para sus vidas. Una vez establecidas las relaciones, podrían utilizarse para deducir los secretos del universo.
Pitágoras creía en las propiedades curativas de la música. Así, ciertas melodías apaciguaban pasiones inapropiadas y conseguían la armonía del alma, y por lo tanto, del cuerpo.
Como últimas contribuciones de la escuela, comentaremos la interpretación del universo en torno a la música y las matemáticas, de donde surgió la teoría de la denominada armonía de las esferas. Pitágoras estableció que la distancia entre sol, luna y estrellas fijas se correspondía con una octava, quinta y cuarta de la voz de los siete planetas de la esfera de las estrellas fijas. Para la escuela pitagórica, el espaciado interestelar se correspondía con relaciones musicalmente armoniosas. El propio Aristóteles afirmaba: “esta música no la podemos oír, ya sea porque siempre hemos estado acostumbrados a ella y no la podemos distinguir, o porque el sonido es tan potente que escapa a nuestras capacidades auditivas”.
A día de hoy nos preguntamos que, si estamos recibiendo continuamente los denominados ecos del Big bang en forma de radiación de microondas desde el fondo del cielo (descubrimiento llevado a cabo por Penzias y Wilson en 1965), lo que no deja de ser un régimen energético de radiación electromagnética, y como la experiencia nos dice que la luz suele ir acompañada de ondas sonoras, especialmente al propagarse en materia, ¿quién dice que no cabe esperar que estemos siendo rociados no sólo con energía electromagnética invisible, sino que el eco puediera hacerse audible y estemos inmersos en la gran sinfonía del universo?
Si los pitagóricos levantaran la cabeza, afirmarían rotundamente la “cábala” anterior. Así, pues, vista la importante relación establecida entre las matemáticas y la música, ¿podría un gran matemático convertirse en un célebre compositor?
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Manuel de León (ICMAT-CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU); Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).
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