La fórmula de Euler

Si una aburrida noche de invierno decidideran acudir a un restaurante de las Matemáticas y pidieran una paella con “un poco de todo” o, más precisamente, “un poco de todo lo importante”, probablemente les llevarían a la mesa la ecuación del título. Ésta, a pesar de tratarse de una pura tautología, es muy conocida entre la comunidad científica por su simplicidad y casi sobrenatural completitud: contiene en una sola línea elementos de lo más diverso y de cierta relevancia en la historia de las Matemáticas.

De derecha a izquierda:

0: a pesar de su enorme utilidad, el cero tardó mucho tiempo en aparecer en escena. Algunas culturas (Antiguo Egipto, Babilonia, Antigua Grecia o la cultura Maya) ya poseían documentos de carácter matemático o astronómico con símbolos relativos al valor cero. Sin embargo, no fue hasta alrededor del año 810 D.C. cuando el cero tal y como hoy lo conocemos apareció en la civilización hindú. La India es la cuna de la numeración moderna, y el 0 apareció allí al introducir los hindúes un sistema posicional con nueve dígitos en el que la posición era clave. Más allá de las discusiones filosóficas acerca de si “el vacío” debe tener o no un símbolo que lo represente, resulta bastante comprensible que éste tardara tanto en manifestarse: para contar animales, útiles, haciendas o cualquier otro tipo de objetos, el cero es completamente innecesario.

= : aunque parezca extraño, en los albores del álgebra se utilizaban palabras en lugar de símbolos para representar los objetos matemáticos (por ejemplo se denominaba “cosa”, en su traducción latina, a cualquier incógnita x, y, z). Lo mismo ocurría con el símbolo para la igualdad: era la abreviatura “ae” de la denominación latina aequalis, lo que se utilizaba en su lugar. Fue el galés Robert Recorde (1510-1558) quien por primera vez introdujo el símbolo = en su libro The Whetstone of Witte. En dicha obra los segmentos eran de mayor longitud que los ahora utilizados, lo que da sentido a la elección de Recorde: Establezco este síimbolo como igualdad porque no puedo imaginar otras dos cosas que sean más iguales que un par de paralelas.

1: uno, la unidad, el primero lo los números naturales, el comienzo de las décadas, los siglos, los milenios; el inicio de la numeración. Como se mencionaba antes, fue en la India donde se desarrolló el sistema de numeración moderna. La escritura en base diez (y que tengamos diez dedos en plas manos debe de tener algo que ver con la popularidad de esta base), con nueve dígitos posicionales incluyendo un cero, es la primera de sus grandes contribuciones a las matemáticas. Los árabes llevaron este sistema a Occidente y crearon las cifras llamadas “gubar” del cero al nueve para representar cualquier número (prácticamente como en la actualidad). Una vez conocido, el sistema se expandió por todo el mundo, imponiéndose a cualquier otro preexistente.

e : el número e es una de las constantes más importantes en matemáticas. Es un número trascendente y por lo tanto no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuación algebrica. Por lo tanto es irracional y no puede ser expresado con un número finito de decimales o decimales periódicos. Su valor es aproximadamente e=2.71828…. A pesar de que las primeras referencias a esta constante, conocida a veces como número de Euler o constante de Napier, aparecen en tablas de logaritmos elaboradas por John Napier, su descubrimiento está acreditado a Jacob Bernoulli, quien se topó con ella mientras resolvía un problema de interés compuesto. Si no reuniera ya suficientes características especiales, se puede decir que define la función exponencial, función cuya derivada es ella misma, convirtiéndola muy frecuentemente en solución de ecuaciones diferenciales sencillas. Es la base además del logaritmo neperiano (en referencia a John Napier, matemático escocés que introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático) y puede ser obtenida como límite de cierta sucesión o como la suma infinita del inverso del factorial de los números naturales. Por todo esto se puede decir que el número e es la constante más importante en el análisis matemático.

i : nos encontramos aquí con la unidad imaginaria. Esta denominación puede resultar demasiado atractiva para la mística, pero significa simplemente que tratamos con un número cuyo cuadrado es negativo, es decir = -1. Esta circunstancia es imposible para los números reales (el cuadrado de un real, ya sea positivo o negativo, siempre es positivo), por lo que la existencia la unidad imaginaria extiende la noción de estos hasta la de números complejos: aquellos que tienen una parte real y otra imaginaria. A pesar de que hay referencias a este tipo de números desde la antigua Grecia, no fue hasta el siglo XVIII, por medio de los trabajos de Leonard Euler y Carl Friedrich Gauss, cuando su uso fue generalmente aceptado. Si e es la constante fundamental del análisis real, podemos decir que i lo es del análisis complejo, área de las matemáticas con múltiples aplicaciones, algunas de ellas tan poco imaginarias como las relacionadas con ingeniería.

Π: el número de los números; quien más y quien menos conoce las primeras cifras de su valor: Π =3.1415….. Al igual que en el caso de e, π es un número trascendente y no puede expresarse de manera finita. Su definición más habitual es la siguiente: π es la relación entre la longitud y el diámetro de una circunferencia, así de sencillo. De hecho, el uso de la letra griega Π para definirlo proviene de las palabras periferia y perímetro, cuya inicial, también en griego, es precisamente π. Tal vez debido a su relación con la geometría básica, su existencia y nombre es tan difundido, así como comprensible su presencia en textos matemáticos desde los albores de los tiempos. Ya en la actualidad, π se ha convertido en un símbolo de las Matemáticas, y se usa tanto como título de película como en los diseños de camisetas. Por si fuera poco, hay competiciones internacionales cuyo objetivo, por medio de supercomputadoras, es calcular la mayor cantidad posible de sus decimales.

Sea quien sea, felicitemos al cocinero.

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Fernando Jiménez Alburqueque (CSIC) es investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).