La ley de los grandes números y el libre albedrío

Bajo el nombre de ley de los grandes números son conocidos aquellos resultados del Cálculo de Probabilidades sobre la estabilidad a largo plazo de las realizaciones de una familia de variables aleatorias. Tradicionalmente, la primera ley de los grandes números es atribuida al matemático suizo Jacob Bernoulli (Basel, 1654 – Basel, 1705), aunque su demostración fuera publicada en 1713 por su sobrino Nicholas como parte de su libro póstumo Ars Conjectandi (El Arte de Hacer Conjeturas). Formalmente, se refiere a una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita y asegura que el promedio de las n primeras observaciones (variables aleatorias) se acerca a la media teórica cuando el número n de repeticiones tiende hacia infinito.

Para llevar la contraria a algunos de nuestros colegas, tenemos la satisfacción de puntualizar aquí que, previamente a la contribución de Jacob Bernoulli, el matemático italiano Gerolamo Cardano (Pavia, 1501 – Roma, 1576) ya había enunciado esta ley, de manera más intuitiva, en el sentido de que repetir un ensayo muchas veces mejora la probabilidad de un suceso.

La relación con la definición frecuentista de probabilidad

Pongamos un ejemplo sencillo. Supongamos que pretendemos conocer la probabilidad del suceso “obtener 3” en el lanzamiento de un dado equilibrado y que, para ello, repetimos una y otra vez, de manera independiente y bajo idénticas condiciones, el lanzamiento de un dado registrando un 1 si se observa como resultado “3”, y un 0 en el caso de obtener otros resultados; es decir, la variable aleatoria asociada a cada repetición toma los valores 1 y 0 con probabilidades 1/6 y 5/6, respectivamente. La frecuencia de aparición del resultado “3” durante los primeros n lanzamientos equivale al cociente entre la suma de los 1’s asociados a los n lanzamientos y el número n de lanzamientos. Cuando el número de lanzamientos es suficientemente grande, la aparición porcentual del suceso “obtener 3” será muy cercana a la probabilidad teórica 1/6 del suceso, gracias a que la media de la variable aleatoria asociada a un único lanzamiento (es decir, 1 x 1/6 + 0 x 5/6) coincide con la probabilidad 1/6 del suceso.

Jakob Bernouilli

Dos tipos de convergencias estocásticas de sucesiones de variables aleatorias – la convergencia en probabilidad (ley débil) y la convergencia casi segura (ley fuerte) – permiten dar el aspecto formal moderno a un resultado tan famoso que, hasta la década de 1930, fue empleado como definición frecuentista de la noción de probabilidad de un suceso.

A partir de 1930, la definición axiomática de espacio de probabilidad, formulada por el matemático ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov (Tambov, 1903 – Moscú, 1987) encajaría los problemas probabilísticos en el contexto de la Teoría de la Medida. Ese hecho resultó crucial y ha significado el desarrollo de un importante número de resultados que, inspirados en las primeras leyes de los grandes números, están orientados hacia la generalización de la hipótesis de independencia entre variables aleatorias, entre otros aspectos.

Una lucha que transcendió más allá de las matemáticas

El teorema de Jacob Bernouilli fue conocido como el “Teorema de Oro” o “Teorema de Bernouilli” hasta que, en 1837, Simeon Denis Poisson (Loiret, 1781-Sceaux, 1840) lo citó con su nombre actual, que es el que ha prevalecido hasta nuestros días. Posteriormente, Chebyshev, es decir, Pafnuti Lvóvich Chebyshov (Okátovo, 1821 – San Petersburgo, 1894) publicó una nueva prueba que su discípulo Andrei Markov mejoró notablemente.

Pavel Nekrasov

Lo que no es tan conocido en la historia de las leyes de los grandes números es la polémica que Andrei Markov mantuvo con su colega matemático Pavel Nekrasov (1853 – 1924), de la Universidad de Moscú, desde 1905 en San Petersburgo.

Pavel Nekrasov había estudiado primero Teología en un seminario ortodoxo y fue uno de los matemáticos rusos influenciados por la religión, lo que le provocó muchos problemas a pesar de que, tras la Revolución de Octubre, intentara sin mucho éxito una aproximación al marxismo.

La disputa entre Andrei Markov y Pavel Nekrasov se desarrolló en torno a la ley de los grandes números. La demostración dada por Pavel Nekrasov se basaba en la hipótesis de independencia entre los sucesos aleatorios (en el anterior ejemplo, cada vez que lanzo el dado se asume la independencia entre los sucesos observados), mientras que Andrei Markov probó que esa hipótesis no era necesaria. En otras palabras, el teorema era cierto incluso cuando hubiese dependencia entre las variables aleatorias (bajo ciertas condiciones).

Andrei Markov despreciaba el trabajo de Pavel Nekrasov diciendo que sus obras “eran un abuso de las matemáticas”. Es evidente que no había mucha amistad entre ellos, aunque para entender mejor la agresividad de estos comentarios tendríamos que destacar que Andrei Markov no era precisamente conocido por ser un “hombre de paz” y que, por el contrario, era de un carácter molesto, incluso con sus amigos, y despiadado con sus rivales.

Pero el fondo de la cuestión tenía trasfondo teológico porque la pelea versaba sobre la existencia o no del libre albedrío. Pavel Nekrasov y Andrei Markov, como la mayoría de los matemáticos rusos, creían que las matemáticas afectaban a la religión, pero sus aproximaciones y conclusiones eran opuestas. Si por un lado Pavel Nekrasov era zarista y ortodoxo, por el otro lado Andrei Markov era antizarista y ateo.

La cuestión era:

¿Podía la teoría de probabilidades dar una respuesta a esta cuestión de si tenemos libertad en nuestros actos o están estos predeterminados por Dios?

Según Pavel Nekrasov, la ley de los grandes números no era capaz de explicar  las regularidades estadísticas observadas en la vida social. En concreto, argumentaba que los actos voluntarios tenían que ser considerados como eventos independientes desde el punto de vista de la probabilidad. Así que la gente actuaba con libre albedrío, de acuerdo con la doctrina ortodoxa.

Mostrando su disconformidad con esta visión, Andrei Markov se lanzó a buscar un ejemplo en el que se observara dependencia y, a pesar de ello, se cumpliera la ley de los grandes números. El ataque a los argumentos de su rival fue el estudio del poema en verso Eugene Onegin de Alexander Pushkin, que dio lugar al descubrimiento de las cadenas de Markov, tal y como hemos descrito en una de nuestras recientes entradas.

Como hemos visto, las relaciones de Andrei Markov con la iglesia ortodoxa no eran muy buenas. De hecho, cuando Leon Tolstoi fue excomulgado, Andrei Markov pidió el mismo trato. Le fue concedido de manera inmediata.

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Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC, Real Academia de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid)