La paradoja de las ruedas de Aristóteles

Una paradoja es un hecho o expresión aparentemente contrarios a la lógica. Es un hecho o una frase que parece oponerse a los principios de la lógica. La palabra, como tal, significa 'lo contrario a la opinión común'

Una paradoja puede ser un hecho, acción, situación que, en apariencia, es contrario a la lógica: "Ya nadie va a ese lugar; está siempre lleno de gente"; "Este enunciado es falso"

En un antiguo texto griego llamado Mechanica, se menciona esta paradoja de las ruedas de Aristóteles. A lo largo de la historia, este problema ha llamado la atención de grandes matemáticos.

La paradoja, puede expresarse en los siguientes términos:

"Pensemos en una rueda que tiene otra más pequeña en su interior, idea que puede equipararse en dos círculos, una más grande que la otra. Existe una correspondencia biyectiva, uno a uno, entre los puntos de la circunferencia mayor y la menor que está en su interior, de tal forma que el mismo punto del círculo interior le corresponde al círculo mayor y viceversa."

Considerando este enunciado, las dos ruedas deberían desplazarse una misma distancia horizontal en cada uno de los giros completos, independientemente de que se deslice sobre una varilla tangente a la rueda pequeña o la rueda mayor que toca el suelo.

Obviamente, circunferencias de radios diferentes recorren distancias diferentes en cada vuelta. Sin embargo, si consideramos dos circunferencias concéntricas y las ponemos a rodar ambas circunferencias dan una vuelta en el mismo espacio de tiempo y recorren la misma distancia. Sin embargo es evidente que si los radios son distintos la longitud de ambas circunferencias no va a ser la misma y por lo tanto es imposible que hayan podido recorrer la misma distancia a lo largo del movimiento.

Lo que ocurre es que si rodamos sobre la circunferencia grande la pequeña está DESLIZANDO en el interior de la rueda grande, arrastrada por esta (está desplazándose horizontalmente sin girar) mientras que si rodamos sobre la circunferencia pequeña la grande PATINA (gira sin desplazarse horizontalmente).

https://www.geogebra.org/classic/ktthnc7d

En conclusión, el desplazamiento angular (ángulo girado) es el mismo en ambas ruedas. Por tanto, dados los diferentes radios, los desplazamientos lineales de ambas ruedas son diferentes. Si, durante el experimento observamos que ambas ruedas recorren la misma distancia, podemos concluir que la rueda central queda sometida a un efecto de arrastre.