La paradoja del cumpleaños

Si tenemos 23 personas en una habitación, ¿cuales son las probabilidades de que por lo menos dos cumplan años el mismo día? Aunque parezca increíble la probabilidad es de un 50%. Siendo este un resultado que se conoce como la paradoja del cumpleaños. De hecho, para obtener una probabilidad del 99,9% solamente es necesario reunir a 75 personas.

Calculado las probabilidades en la paradoja del cumpleaños

Para conocer las probabilidades de que dos personas en un grupo tengan el cumpleaños el mismo día necesitamos conocer la probabilidad de que una pareja no tenga el cumpleaños el mismo día y el número de parejas que podemos hacer con el grupo de personas. Así, elevando la probabilidad de que dos parejas no tengan el cumpleaños el mismo día se puede obtener la probabilidad de que ninguna pareja en el grupo tenga el cumpleaños el mismo día.

Probabilidad de que dos personas no tengan el cumpleaños el mismo día

Este es un cálculo relativamente sencillo, si en un año hay 365 días (salvo en el caso de bisiestos) la probabilidad de que dos personas cumplas años el mismo día es de 1/365. Así, la probabilidad de que no sea así es de uno menos este valor. Por lo tanto, la probabilidad de que dos personas no cumplan años el mismo día es de

1 - \frac{1}{365} = 364/365 = 0,9972

Es decir, aproximadamente un 99,7%.

El número de parejas en un grupo

Bien ahora que sabemos la probabilidad de que dos personas no cumplan años el mismo día, necesitamos saber cuántas parejas diferentes existen en un grupo. Lo que también es relativamente fácil de calcular, ya que es la combinación de dos en dos sin repetición. Esto es

En donde n es el número de personas en el grupo, Así, para un grupo de 23 personas el número de parejas diferentes que existen son 253. Si aumentamos a 75 personas el número de parejas es 2738. Lo que nos da una pista de por qué las probabilidades se vuelven altas tan rápido.

Probabilidad en un grupo de que dos personas tengan el cumpleaños el mismo día

Ahora que conocemos cuántas parejas diferentes hay en un grupo y cuál es la probabilidad de que una pareja no tenga el cumpleaños el mismo día solo hay que poner en conjunto ambos valores. Para lo que hay que multiplicar la probabilidad de que todas las parejas no tengan el cumpleaños el mismo día. Algo que se obtiene elevando la probabilidad al número de parejas. Así para el caso de 23 personas tenemos 0,9972 elevado 253, lo que da 0,4995. Esto es, una probabilidad de 49,95% no existir una pareja que tenga el cumpleaños el mismo día. O, lo que es lo mismo, una probabilidad de 50,05% de que exista una pareja que compartan el día del cumpleaños.

Si repetimos el cálculo para el caso de 253 personas podemos ver que la probabilidad de no tener una pareja comparta el día de cumpleaños es de 0,049%. O lo que es lo mismo, la probabilidad de tener por lo menos una pareja es de 99,95%.

¿Por qué se da la paradoja del cumpleaños?

Este es un resultado que parece poco intuitivo, pero es así porque el crecimiento exponencial no es intuitivo. A medida que aumentamos una persona en el grupo el número de parejas no crece linealmente, por lo que aumentamos la probabilidad de que exista una pareja que cumpla años el mismo día.

Conclusiones

La paradoja del cumpleaños es un resultado interesante que nos demuestran que el crecimiento exponencial no es algo que sea intuitivo para los humanos. Los que estamos acostumbrados a pensar en términos lineales. Por lo que se puede en ciertas ocasiones se pueden obtener estos resultados tan sorprendentes.

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