La regla de tres y el presidente Abraham Lincoln

Multiplication is vexation;

Division is as bad;

The Rule of Three doth puzzle me,

And Practice drives me mad.

John Napier, 1570.

Los versos que encabezan esta entrada corresponden a una canción infantil, Multiplication is vexation, que se remonta a un documento isabelino de 1570 titulado “A description of the Admirable Table of Logarithmes” (Descripción de la admirable tabla de logaritmos), escrito por el matemático escocés John Napier (1550-1617) e impreso para Simon Waterson en 1618. Esta es la traducción: “La multiplicación es un fastidio;/ La división es igual de mala;/ La regla de tres me desconcierta,/y la práctica me vuelve loco.”

Recordemos que John Napier fue un matemático escocés, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. De hecho, de su nombre latino, Ioannes Neper, viene el de los logaritmos neperainos). Napier fue también el inventor de un ábaco, cuya descripción se publicó en su obra Rhabdologia, impresa en Edimburgo a finales de 1617. Ese ábaco se conoce en inglés con el curioso nombre de Napier’s bones (huesos de Napier), un primer dispositivo mecánico para calcular la multiplicación y la división. Napier era hijo de personajes ilustres, su padre era Sir Archibald Napier, terrateniente de Merchiston; Naper nación en el castillo de Merchiston y fue apodado por ello como “el maravilloso Merchiston”.

Pero volvamos a la regla de tres que le “desconcertaba”. Mucho más adelante en el tiempo, Abraham Lincoln, en una breve biografía proporcionada a los amigos que respaldaban su candidatura en 1860, escribió: “Sabía leer, escribir y calcular con la regla de tres; pero eso era todo”.  Parece que la regla de tres tenía un valor en aquellos tiempos.

Abraham Lincoln

Sabemos que la regla de tres es una forma de resolver proporciones, que se resuelven con multiplicación cruzada en la que el problema se plantea de forma que la cantidad desconocida es el último “extremo” de una serie de números que presentan una relación proporcional. Conocemos a, b y c, y calculamos x. Y eso en cuanto a la regla de tres simple o directa, que ya sabemos que podemos complicarlo más con la regla de tres inversa y la compuesta. En mis tiempos de escolar me tocó resolver muchos problemas de aitmética con la regla de tres, que se convertía en la panacea universal. Esto es lo que probablemente le tocó hacer a Lincoln en sus tiempos como joven tendero en New Salem (aunque estudió mucha sotras cosas de matemáticas, como los Elementos de Euclides). Seguramente este aprendizaje con los números le ayudó en sus posteriores tareas como Presidente de los stados Unidos.

La regla de tres era conocida por los árabes (como al-Jwarizmi en su Álgebra, y al-Biruni (973-1050), quien dedica una obra completa a este tema, Sobre las Reglas de Tres de la India. Aryabhatiya describió la Regla de Tres en estos poéticos términos: “En la regla de tres multiplica el fruto por el deseo y divide por la medida; el resultado será el fruto del deseo“.

La regla de tres ha sido recogida en muchos textos. Por ejemplo, en la Canción del jardinero loco, Lewis Carroll incluye las líneas: “Creyó ver una puerta de jardín / que se abría con una llave: / Volvió a mirar, y descubrió que era / Una doble Regla de Tres”.

El jardinero loco

Y también Rudyard Kipling la menciona en El Libro de la selva:

“You can work it out by Fractions or by simple Rule of Three,
But the way of Tweedle-dum is not the way of Tweedle-dee.
You can twist it, you can turn it, you can plait it till you drop,
But the way of Pilly Winky’s not the way of Winkie Pop!”

o sea

“Puedes resolverlo por Fracciones o por simple Regla de Tres,

Pero el camino de Tweedle-dum no es el camino de Tweedle-dee.

Puedes retorcerlo, puedes girarlo, puedes trenzarlo hasta que se te caiga,

Pero el camino de Pilly Winky no es el camino de Winkie Pop”.

En Francia se usa la “regla de tres” al menos a partir de 1520, aunque todo indica algunos siglos menos. En L’arithmétique nouvellement composée, Estienne de La Roche le dedica un capítulo entero, y la considera la regla más bella de todas.

Gilbert Walusinski

La receta se popularizó a principios del siglo XVIII gracias a las numerosas ediciones del libro de François Barrême, L’Arithmétique du sieur Barrême, ou le livre facile pour apprendre l’arithmétique de soi-même et sans maître. Barrême es autor de obras de cálculos prácticos y tablas de correspondencia que han pasado a la posteridad con el nombre de baremos. Barrême no se preocupa ya por la proporcionalidad, pero en el artículo de la Enciclopedia de Diderot y d’Alembert, si existe esta preocupación. Los dos enciclopedistas la denominan “regla de oro”. Y esa presentación como la regla en sí o como fruto de proporciones, continúa en décadas posteriores. Como ejemplo, cuando en 1960 y 1970 se introducen las mal llamadas “matemáticas modernas”, se busca la interpretación detrás de la regla de tres, poniendo de relieve el concepto matemático que la sustenta, la proporcionalidad. En 1963, Gilbert Walusinski, miembro de la Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (APMEP), escribió un artículo titulado “La règle de trois n’aura pas lieu” (La regla de tres no tendrá lugar, parafraseando la obra teatral de Jean Giraudoux) criticando el automatismo de la regla de tres y proponirndo problemas en situaciones que movilizaran el espíritu crítico de los alumnos.

Y s que basta unos ejemplos sencillos para darse cuenta de la insustancialidad de la regla de tres:

Si un círculo de radio 2 metros tiene un área de 4 π, entonces uno de radio 4 metros tendría, si aplicamos la regla de tres, 8 π, cuando la respuesta correcta es 16 π. Porque la relación entre el área del círculo y su radio no es lineal, es cuadrática.

Si Juanito tiene a los 5 años una estatura de 1,25 metros, cuando tenga 10 años, mediría 2,50 metros, un futuro jugador de la NBA.

Y así podríamos seguir indefinidamente.

La enseñanza de las matemáticas en España no difieren mucho de lo que ocurre en Francia (y en realidad en cualquier otro país, los problemas son parecidos en casi todos). No defiendo la vuelta a aquellas “matemáticas modernas”, aunque no las repudio, porque el grupo Bourbaki perseguía una mejor fundamentación de las matemáticas y consiguieron un impacto que no se ha detenido (es lo que pasa cuando pones a grandes mentes a pensar juntos). Y cuestionar lo que se hace en cada momento supone siempre reflexionar sobre lo que es mejor, y eso nos puede llevar a cambios sustanciales. Pero sí veo claro que repetir una y otra vez ejercicios sin saber que es en realidad lo que se está haciendo, no va a suponer que se mejore el nivel matemático de nuestros alumnos. Y es mucho más útil para sus mentes conocer como unas cantidades se relacionan con otras que aplicar reglas de oro sin un análisis de su aplicabilidad al caso en cuestión.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).