La Teoría de Juegos y el dilema discursivo (2)

Esta es la segunda parte de la versión en español de mi artículo de mayo en Mapping Ignorance. Debe leerse la primera parte para entender esta.


Clipper y Eliaz (2015) [2] usan los juegos bayesianos para desarrollar su análisis. Esto significa que las distintas creencias de los miembros del jurado se deben a que cada miembro tiene acceso a distinta información. En el modelo bayesiano, ex-ante todos los miembros del jurado están de acuerdo en las probabilidades a priori de que cada premisa sea cierta. En un segundo momento cada miembro del jurado tiene acceso a una información privada (llamada señal) a partir de la cual pueden actualizar sus creencias de acuerdo con la regla de Bayes. Como cada uno puede recibir información distinta, los tres miembros pueden acabar con distintas creencias acerca de las premisas. En el modelo de Clipper y Eliaz (2015) la señal está restringida a los valores 0 y 1 para cada una de las premisas y las reglas de decisión comprenden todas la reglas super-mayoritarias (una proposición es aceptada si una mayoría cualificada de los votantes están de acuerdo en que es cierta, donde el valor cualificación puede ser cualquier proporción de votantes entre la mitad, para una mayoría simple, hasta la casi unanimidad).
Expliquemos esto con el ejemplo primero. Hay cuatro posibilidades para el verdadero estado: (1,1), (1,0), (0,1) y (0,0), donde un 1 en la primera posición de la señal significa “la primera premisa es cierta”. Un cero significa “falsa”, y la segunda posición se refiere a la segunda premisa. Hay una probabilidad a priori de que cada uno de estos estados posibles sea cierto y los tres miembros del jurado conocen estas probabilidades. A partir de ahí cada miembro recibe una señal sobre el estado. En el caso más simple hay tantas señales como estados. El primer miembro del jurado recibirá una señal correcta o incorrecta con unas probabilidades. Por ejemplo, si el estado verdadero es (1,1), puede recibir la señal (1,1) con probabilidad 0,7, la señal (1,0) con probabilidad 0,2 y cada una de las señales (0,1) y (0,0) con probabilidad 0,05. Los otros dos miembros recibirán sus señales con sus propias probabilidades. Cada miembro del jurado desconoce las señales que reciben los otros, pero sabe las probabilidades. Usando la regla de Bayes, cada miembro del jurado puede calcular la probabilidad de que cada premisa sea cierta y puede también calcular la probabilidad que cada uno de los otros miembros asignará a cada premisa dependiendo de qué señales reciben.
En el juego de la premisas, después de recibir las señales, los miembros votan sí o no a cada proposición de la forma “la premisa x es cierta”. Según los votos, una premisa se declarará cierta o falsa. En el juego de los resultados, votan a favor o en contra de la aceptar la conclusión lógica. En ambos casos cada miembro del jurado quiere minimizar la distancia esperada entre la decisión y el estado verdadero. Por ejemplo, si el estado verdadero implique que el candidato debe ser aceptado (1), pero en equilibrio se acepta solo con probabilidad 0,6, la distancia será 1-0,6=0,4. Por supuesto, los miembros no saben si el estado cierto implica que el candidato deba ser aceptado, pero pueden calcular las probabilidades de acuerdo con las señales recibidas y, a partir de ahí, calcular el valor verdadero esperado y la distancia esperada entre el equilibrio y el este valor.
En el modelo, los autores logran probar los siguientes teoremas:

1. Para cada grupo finito de individuos, recabar opiniones sobre las premisas es sistemáticamente por lo menos tan bueno como recabarlas sobre los resultados, pero lo contrario no es cierto. Para ser más precisos, la primera parte dice que para cada equilibrio de Nash bayesiano simétrico en el juego basado en resultados existe un equilibrio de Nash bayesiano en el juego basado en premisas tal que, par cada vector de realizaciones de la señal, el perfil estratégico del segundo juego induce la misma distribución de probabilidad sobre las decisiones que el primero.
2. Genéricamente, las ganancias del juego basado en las premisas sobre el juego basado en el resultado solo pueden llegar a ser marginales cuando muchos individuos expresan su opinión independientemente.
3. Ambos procedimientos son casi siempre eficientes asintóticamente.

En lenguaje llano, la conclusión puede resumirse así: a pesar de que el método basado en las premisas es mejor que el basado en los resultados, solo lo es de manera marginal, puesto que ambos métodos tienden a ser eficientes cuando el número de miembros aumenta, excepto en casos extremadamente raros.
Referencias:
2. de Clippel, G., and Eliaz, K. 2015. Premise-based versus outcome-based information aggregation. Games and Economic Behavior 89, 34–42. 
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