Las matemáticas contra la malaria y el modelo SIR

This day relenting God
Hath placed within my hand
A wondrous thing; and God
Be praised. At His command,
Seeking His secret deeds
With tears and toiling breath,
I find thy cunning seeds,
O million-murdering Death.
I know this little thing
A myriad men will save.
O Death, where is thy sting?
Thy victory, O Grave?

Poema de Ronald Ross para celebrar su descubrimiento

En nuestra entrada Las matemáticas del coronavirus Covid-19 presentamos el modelo SIR de epidemias como un modelo sencillo para dar sentido a los términos “pico de infección”, “crecimiento exponencial” y “aplanar la curva” que venimos oyendo en los medios desde el inicio de la pandemia. Desde su introducción, el modelo SIR ha generado un enorme interés por sus numerosas aplicaciones y por ser el origen de otros modelos más sofisticados; en concreto, una de sus evoluciones, el modelo SEIR, está siendo parte importante en la lucha contra Covid-19. En esta entrada queremos recordar a dos científicos, sir Ronald Ross y Anderson Gray McKendrick, por ser los precursores del uso de los modelos matemáticos, tanto deterministas como estocásticos, en la lucha contra otro implacable enemigo de la humanidad, la malaria.

Ronald Ross

Ronald Ross (Almora, 1857 – Londres, 1932) estudió Medicina en Londres y entró a formar parte del Servicio Médico Indio en 1881, ampliando su formación médica en Salud Pública y Bacteriología, una nueva ciencia creada por el químico y bacteriólogo francés Louis Pasteur y el médico y microbiólogo alemán Heinrich Hermenn Robert Kock. En 1894 conoció al físico y especialista en medicina tropical escocés Patrik Manson, quien mostró a Ronald Ross bajo el microscopio cómo la sangre de los infectados por malaria contenía parásitos y le sugirió que los parásitos podían provenir de los mosquitos, al igual que las infecciones por filariasis observadas por Patrik Manson en China. Entre 1895 y 1898, Ronald Ross investigó la propagación de la malaria, identificó el ciclo de vida del parásito en pájaros (¡no en humanos!) y mostró el rol de los mosquitos del género anopheles como vector de transmisión de la enfermedad. Estas investigaciones fueron el motivo para que ser galardonado con el Premio Nobel de Fisiología (o Medicina) en 1902.

A pesar de estar convencido de que no era necesario aniquilar a todos los mosquitos anopheles para erradicar la malaria, no fue hasta el año 1911 cuando Ronald Ross demostró, mediante el uso de un modelo determinista, que una reducción parcial de la población de mosquitos resultaría suficiente para hacer desaparecer la malaria entre los humanos. La idea fundamental fue la construcción de un sistema de dos ecuaciones diferenciales para el número H(t) y M(t) de humanos y de mosquitos infectados de malaria en un instante de tiempo t, y el estudio de condiciones para asegurar la existencia de, al menos, un punto de equilibrio; es decir, un par (a,b) que permite cuantificar como nula la variabilidad de H(t) y M(t) mediante sus derivadas, dH(t)/dt =0 y dM(t)/dt=0, cuando (H(t),M(t))=(a,b). Ronald Ross demostró que, cuando el número de mosquitos infectados por la malaria es inferior a un cierto umbral crítico M’, la malaria en las poblaciones de humanos y de mosquitos desaparecería con el paso del tiempo debido a que (H(t),M(t))=(0,0) sería el único punto de equilibrio, quedando mostrado que el combate contra la malaria no necesariamente implicaba el exterminio del mosquito anopheles.

Anderson McKendrick

El militar escocés Anderson Gray McKendrick (Edimburgo, 1876 – Cambridge, 1943) es considerado el pionero del uso de herramientas estocásticas en la propagación de enfermedades infecciosas gracias a la publicación, en el año 1926, del artículo “Applications of Mathematics to medical problems”, que contiene resultados de gran relevancia matemática, como la ecuación en derivadas parciales de McKendrick-Von Foerster. En ese mismo artículo, un modelo de epidemias y crecimiento de poblaciones pasó desapercibido hasta que, en el año 1939, fuera redescubierto por William Feller. El modelo es hoy conocido con las siglas SIR aludiendo a los tres compartimentos o subpoblaciones en que los individuos de una población de tamaño N constante son clasificados según su estado – S, susceptible; I, infectado; R, resistente – ante una enfermedad, y la evolución del estado del individuo (S–>I–>R) a lo largo de la epidemia.

Mosquito anopheles, transmisor de la malaria

Inspirado por el trabajo de Ronald Ross, con quien viajó a combatir la malaria en Sierra Leona, Anderson Gray McKendrick dedujo un sistema de ecuaciones diferenciales para las probabilidades Pi,r (t) de que, en el instante t, la población esté compuesta de i, r y s=N-i-r individuos infectados, resistentes y susceptibles, respectivamente, para cualesquiera valores (i,r) verificando i+r=1,…,N. En 1927, Anderson Gray McKendrick inició una fructífera colaboración científica con el bioquímico escocés William Ogilvy Kermack, que daría lugar a una teoría general hoy conocida como teoría de Kermack-McKendrick sobre la propagación de enfermedades infecciosas.

El lector de este blog debe observar una diferencia esencial entre los modelos de Ronald Ross y Anderson Gray McKendrick: el sistema de ecuaciones diferenciales de Anderson Gray McKendrick se refiere a la ley de probabilidad de las variables aleatorias I(t) y R(t) que describen el número de infectados y resistentes, para cada instante t de tiempo; mientras que el sistema de ecuaciones de Ronald Ross analiza la variabilidad de los números H(t) y M(t) de humanos y de mosquitos infectados de malaria como funciones de t. No podemos distraernos por el significado de las cantidades analizadas (o bien I(t) y R(t), o H(t) e M(t)). Lo importante es distinguir entre la naturaleza estocástica del modelo SIR de Anderson Gray McKendrick y el carácter determinista del modelo de Ronald Ross.

A pesar de que el modelo SIR original es un modelo estocástico, su versión determinista es más sencilla de tratar – analítica y numéricamente –, y resulta muy precisa cuando el tamaño N de la población es suficientemente grande, como es el caso tratado en nuestra entrada Las matemáticas del coronavirus Covid-19. Debido a su sencillez, es la herramienta más utilizada por los epidemiólogos y sirve de base para generalizaciones más realistas como el modelo SEIR (el más utilizado estos dias por los científicos) o, si finalmente no desarrollamos anticuerpos que nos protejan para una segunda “ola” de la epidemia, el modelo SIS.

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Mario Castro Ponce (Universidad Pontificia Comillas), Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC, Real Academia de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid)