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Las matemáticas de la luz: Euclides

Publicado el 13 abril 2016 por Icmat

Euclides, considerado por muchos el matemático más importante de la historia, fue autor de un tratado sobre la óptica, en el que realiza un estudio de la luz en el que propone postulados importantes. Afirma que la luz viaja en línea recta, describe las leyes de la reflexión y las estudia desde el punto de vista matemático. Manuel de León (CSIC-ICMAT) presenta estas y otras aportaciones del sabio griego en esta entrada de la serie “Matemáticas de la luz”.

Las matemáticas de la luz: Euclides

Hablaremos en esta entrada de Euclides de Alejandría (ca. 325 a.C. – ca. 265 a. C.), considerado como el más relevante matemático de la antigüedad. Apenas existen datos fiables de su vida, y se basan en la biografía escrita por Proclo, filósofo y matemático muy posterior.

Ante la ausencia de datos reales, deviene con el tiempo un personaje de historias y leyendas, a veces presa de malentendidos. Es interesante reseñar algunos detalles sobre el carácter de Euclides, en base a las anécdotas que lo definen.

Según el historiador Estobeo, cuando uno de sus oyentes, nada más escuchar la demostración de un teorema, le había preguntado por la ganancia que cabía obtener de cosas de este género, Euclides, volviéndose hacia un sirviente, había ordenado: «Dale tres óbolos, pues necesita sacar provecho de lo que aprende». La moraleja es que el conocimiento tiene un valor en sí, no solo por lo que nos pueda beneficiar materialmente.

En otra ocasión, al preguntarle el rey Tolomeo I por una vía de acceso a los conocimientos geométricos más fácil y simple que las demostraciones de los Elementos, Euclides había respondido: «No hay camino de reyes en geometría». O sea, el conocimiento exige un esfuerzo por parte del que lo quiera adquirir.

Euclides es conocido por su obra Los Elementos (que es el segundo libro más editado tras la Biblia). Esta es la distribución de los trece libros que componen Los Elementos:

- Libros I a VI: Geometría Plana

- Libros VII a IX: Teoría de Números

- Libro X: Números irracionales

- Libros XI a XIII: geometría del espacio

Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que llamó postulados. Los famosos cinco postulados de Euclides son:

I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.

II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

IV.- Todos los ángulos rectos son iguales.

V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

El quinto postulado es mas conocido de esta otra forma:

V. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Volveremos mas adelante, en otra entrada de este blog, con la historia y las vicisitudes que este quinto postulado ocasionó en la comunidad matemática.

Página del libro de Óptica de Euclides

Euclides y la Óptica

Euclides fue autor de un tratado sobre la óptica, en el que realiza un estudio matemático de la luz, elaborando postulados importantes, relativos a la naturaleza de la luz y afirmando que la luz viaja en línea recta. Además, en ese tratado, Euclides, describe las leyes de la reflexión y las estudia desde el punto de vista matemático. De hecho, en la Catóptrica,  se recoge la siguiente prueba experimental: “Si se coloca algún objeto en el fondo de un recipiente y se aleja éste último de la vista del observador a una distancia a la que el objeto no se vea, al llenar el recipiente de agua, a esa misma distancia comenzará a verse de nuevo dicho objeto” .

En cuanto a la visión, Euclides sigue la tradición pitagórica según la cuál la visión es causada por rayos que emanan de los ojos. En concreto, afirma que la sustancia emitida radialmente por el ojo es de naturaleza corpórea y continua y es la que sirve para establecer el contacto con el objeto; y que esa sustancia consta de rayos separados que tocan el objeto solo en ciertos puntos.

En su tratado, Euclides se basa fuertemente en las nociones geométricas y uno encuentra afirmaciones como estas:

Supóngase:

1) Que los rayos rectilíneos procedentes del ojo divergen indefinidamente.2) Que la figura contenida por un conjunto de rayos visuales es un cono del que el vértice está en el ojo y la base en la superficie del objeto visto.3) Que las cosas vistas son aquellas sobre las que caen los rayos visuales y las no vistas aquellas otras sobre las que los rayos visuales no inciden.4) Que las cosas que se ven bajo un ángulo mayor, aparecen mayores, las que se ven bajo un ángulo menor aparecen menores y las que se ven bajo el mismo ángulo aparecen iguales.5) Que las cosas que se ven bajo rayos visuales más altos aparecen más altos y las cosas que se ven bajo rayos visuales más bajos aparecen más bajos.6) Que, de modo similar, aquellas vistas por los rayos más hacia la derecha aparecen más a la derecha y las que se ven más hacia la izquierda aparecen más hacia la izquierda.7) Que las cosas vistas bajo mayor número de ángulos se ven con más claridad.

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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