Las matemáticas del arcoíris

Siguiendo la serie de “Matemáticas de la luz”, en la que Manuel de León (ICMAT-CSIC) irá descubriendo las matemáticas que permitieron avanzar en el conocimiento de la luz y sus diferentes usos en la ciencia, publicamos esta entrada dedicada al arcoíris. En el estudio de este fascinante fenómeno participaron grandes matemáticos como Aristóteles, Descartes y Newton.

Somewhere over the rainbow way up high

There’s a land that I heard of once in a lullaby

Somewhere over the rainbow skies are blue

And the dreams that you dare to dream really do come true

“Somewhere Over the Rainbow”, cantada por Judy Garland en The Wizard of Oz.

Todos nos quedamos extasiados delante de un arcoíris. Es un fenómeno de la naturaleza que ha intrigado desde siempre a la humanidad, y que aquí trataremos de explicar: su formación y quiénes fueron los científicos que lo lograron. Quizás se sorprendan al ver algunos de los matemáticos más celebrados entre los protagonistas.

Desde la antigüedad, se ha buscado una explicación del arcoíris. Para los antiguos griegos, por ejemplo, Iris era una diosa que cruzaba el cielo llevando mensajes:

Como cae de las nubes la nieve o el helado granizo,

a impulso del Bóreas, nacido en el éter;

tan rápida y presurosa volaba la ligera Iris

(Ilíada, Homero, Canto XV)

Al admirar un arcoíris aparecen una serie de preguntas: ¿cómo se produce? ¿Cuántos colores aparecen en el mismo? ¿Dónde está el sol en ese momento?

Una de las primeras observaciones es que debemos estar siempre de espaldas al Sol. ¿Y cuántos colores? Aristóteles decía que tres: rojo, verde y púrpura, cuando vamos de fuera hacia el interior. Ahora diríamos que siete: rojo, naranja, amarillo, verde, cían, azul, y violeta.

Vayamos a los nombres que tejieron la historia del arcoíris. Además de Aristóteles, ya citado, cabe destacar a Robert Grosseteste (1175 –1253), que fue obispo de Lincoln en Inglaterra. En su obra De iride, desmonta la teoría de Aristóteles según la cuál el arcoíris se produce por el reflejo de la luz producido por las nubes, y afirma que debe ser el resultado de la refracción de los rayos de sol en la humedad de una nube convexa. Aportaciones posteriores de Teodorico de Friburgo (1250 – 1310), un dominico alemán, pusieron de manifiesto el papel de las gotas individuales de lluvia.

Dibujo de René Descartes

Pero son René Descartes e Isaac Newton los que descubren todo el misterio. Descartes (1596 – 1650) observa que si coge una ampolla de agua (simulando una gota) y hace pasar un haz de luz blanca por el centro y la después moviendo hacia el borde, el haz se desplaza cada vez más lejos, hasta que alcanza la máxima distancia, y luego retrocede. Lo mismo que ocurre cuando vamos variando el ángulo con el que lanzamos un proyectil para conseguir el mayor alcance. El ángulo que se forma entre el haz entrante y el saliente es el que se observa en el arcoíris, 42º. Descartes da también la explicación para la banda oscura que suele aparecer en un arcoíris. Es decir que es Descartes (al que no olvidemos se debe la ley de la refracción, que a veces se llama ley de Snell) quién identifica la geometría del arcoíris.

¿Qué nos faltaba? La explicación de los colores, y para eso necesitamos el concurso de Sir Isaac Newton. El propio Descartes reconoció que no sabía explicar el origen de los colores. Desconocía que la luz blanca se puede descomponer y que cada color tiene un índice de refracción diferente. La teoría corpuscular de Newton triunfaba.

Había todavía pequeños detalles a explicar, como los arcos supernumerarios que se observan, y mas científicos contribuyeron a la explicación total, como Airy, de Morgan o el mismo Stokes. Para ello tuvieron que hacer uso de la teoría ondulatoria de la luz, que como se explicó mucho más tarde era la otra manera dual de ver la luz.

Aunque se dice que el pintor Haydon y los literatos Keats, Wordsworth y Lamb coincidieron en un banquete en sus críticas a Newton por haber destruido la magia del arcoíris, al final todos brindaron “a la salud de Newton y por la confusión de las matemáticas.”

Como hemos comenzado con una canción, terminemos con otra, nada menos que de los Rolling Stone, “She’s A Rainbow” (¿la diosa Iris?) del album Their Satanic Majesties Request, lanzado en 1967:

She comes in colors ev’rywhere;

She combs her hair

She’s like a rainbow

Coming, colors in the air

Oh, everywhere

She comes in colors

Have you seen her dressed in blue?

See the sky in front of you

And her face is like a sail

Speck of white so fair and pale

Have you seen a lady fairer?

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Manuel de León (ICMAT-CSIC, Real Academia de Ciencias, Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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