Leyes de Mendel: probabilidad e inducción

Con motivo del Primer Carnaval de Biología puesto en marcha hace bien poco, vamos a hablar un poquito de las leyes de Mendel y de la aplicación del método de inducción en ellas. Aviso, yo soy matemático y no biólogo, así que a lo mejor cometo errores de bulto en esta materia. Trataré de no hacerlo, pero si los hubiere... disculpádmelos.
Según muchos autores, y a diferencia de lo que a mí personalmente me enseñaron en el colegio e instituto, las leyes de Mendel son 2 y no 3:
Primera Ley: Los factores que se transmiten de generación en generación se separan (segregan) en los parentales y se unen al azar en los descendientes para definir las características de los nuevos individuos.
Segunda Ley:Si se consideran dos caracteres simultaneamente, las segregaciones de los factores genéticos no interfieren entre sí; es decir, los factores que determinan un carácter se heredan independientemente de los que determinan el otro.
La tercera en discordia (que en los textos clásicos es la primera) sería la que asegura que si se cruzan dos razas puras para un determinado carácter, los descendientes de la primera generación serán todos iguales entre sí, pero no es más que un caso particular (pobre de mí, que sólo soy matemático y aseguro esto) de la verdadera Primera Ley.
Centrémonos en la primera y vamos a recordar el experimento de Mendel. Supongamos que tenemos una especie de guisante y nos interesa saber el color. Supongamos que de esa misma especie hay 2 razas puras, la verde con genotipo y la amarilla, con genotipo . Si cruzamos miembros de estas clases, y de acuerdo con la Primera Ley, todos los híbridos tendrán que ser , luego serán amarillos (acordaos de eso del gen dominante y gen recesivo), es decir, si el padre es , siempre va a enviar a su descendiente el gen , mientras que la madre , siempre enviará el gen .
¿Cómo será ahora la primera generación de híbridos? Es decir, si ahora cruzamos 2 miembros con genotipo , ¿cómo pueden ser los descendientes y en qué proporción? Bien, estos híbridos serán los Híbridos de Primera Generación y, según la Primera Ley, el padre envía al descendiente el gen con probabilidad 1/2 y el gen con probabilidad 1/2; y lo mismo para la madre. Por tanto las opciones son híbridos con probabilidad ; híbridos con probabilidad ; con probabilidad ; con probabilidad . En resumen, como en cuestiones de genotipo , resulta que la proporción es .
¿Qué ocurre con la Segunda generación de Híbridos? Es decir, qué va a pasar si cruzamos 2 individuos de la primera generación. Vamos a estudiar 2 casos.
El primero es que hay cruzamiento al azar, es decir, que el padre y la madre se eligen al azar. Aquí la cosa se complica un poco y tenemos las siguientes opciones. La probabilidad de que el padre sea es 1/4, que sea es 1/2 y que sea es 1/4; y lo mismo para la madre. Y dependiendo del genotipo del padre o la madre, habrña una casuística u otra. Por eso, es mejor que veas la siguiente tabla de probabilidades:

Por lo tanto, para obtener individuos (yendo en la tabla de izquierda a derecha y de arriba a abajo), habrá una probabilidad de . Para obtener individuos (y yendo en el mismo orden anterior) habrá una probabilidad de . Y, finalmente, para individuos las cuentas son las mismas que para y salen con probabilidad .
En resumen, si la hibridación se produce al azar entre todos los miembros de la Primera Generación en proporción 1:2:1, en la Segunda Generación la proporción se mantiene y, por consiguiente, en cualquier generación sucesiva.
Pero en realidad, las cosas no suelen ocurrir así, al menos en el experimento de Mendel. Él lo que hacía era hibridar individuos siempre del mismo genotipo, es decir, los con los , los con los y los con los . De esta forma, las cosas varían desde el punto de vista matemático y, además de la probabilidad, se introduce el método de inducción. Vamos a ver qué ocurriría en la Segunda Generación de Híbridos con esta última forma de proceder.
La hibridación de individuos producirá siempre individuos . Lo mismo ocurre con los . Además, dada la proporción original , los descendientes de los serán los mismos en número que los de los , pongamos individuos de cada genotipo y, a su vez, los descendientes de los serán el doble que los anteriores pongamos . Pero éstos últimos son de genotipos y y en proporción 1:2:1, luego el resultado de la hibridación de los serán individuos , individuos y individuos . Por lo tanto, y en resumen, en la Segunda generación habría individuos , individuos y individuos , es decir, la proporción será .
Ahora tiene sentido plantearse este proceso de forma iterativa. En la Tercera Generación se producirán (suponiendo una proporción equivalente 6:4:6), , es decir, . En la Cuarta Generación se producirán y, en general, enla Enésima Generación se producirán . Y esto es fácil de probar por inducción sobre .
El caso está ya probado en el caso de la Primera Generación. Supuesto cierto para , veamos que también lo es para . Suponiendo una proporción equivalente , tendremos que se producen , lo que produce una proporción que, en realidad, es .
Bueno, esto es una simple aplicación del Teorema de Bayes de Probabilidad, en el primer caso, y del Teorema de BAyes y el Método de Inducción Matemática en el segundo. Pero dentro de la Biología, las matemáticas pueden aparecer de muchas otras formas: ecuaciones diferenciales (cómo no), matrices, determinantes... Pero esto ya dará para próximas ediciones del Carnaval de Biología.
Tito Eliatron Dixit

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REFERENCIAS:
¿Leyes de Mendel o Ley de Mendel?, de Olivia Lombardi.
Leyes de Mendel, en Wikipedia
Mi Puto Cerebro Matemático, en Journal of Mental Taraos and Absolutely Superior Intelects
Imagen de Mendel extraída de WikimediaCommons y es de Dominio Público