Llenando copas hasta la mitad

Para muchas personas está claro, si queremos llenar la mitad de capacidad de una copa debemos llenar la mitad de contenido, y si en vez de la mitad queremos llenar la tercera o cuarta parte lo mismo deberemos llenar la tercera o cuarta parte de contenido. Es tan simple como una regla de tres pensarán.
Pero nada más lejos de la realidad, el problema de llenar una copa hasta la mitad no es tan fácil como parece en un principio. Esto tan sólo funciona si la copa es un tubo cilíndrico, en ese caso la altura a la que debemos llenar la copa para tener la mitad de volumen es exactamente la mitad del total.
Pero si la copa tiene forma de cono el problema no es tan fácil porque la altura depende de las raíces cúbicas (madre mía, que pintan esas raíces aquí pensarían muchos), y si llenamos la copa hasta la mitad de altura tan sólo beberemos la octava parte de su volumen.
La explicación de esto viene de jugar con la semejanza de triángulos y con la fórmula del volumen del cono:
La fórmula que nos da el volumen de un cono de altura H y radio R es :
Usando la semejanza de triángulos tenemos que:
De donde el volumen del cono de altura queda usando la relación que se obtiene de la figura anterior: Y para que el volumen de este cono sea exactamente la mitad del inicial igualamos:
Y de aquí se deduce despejando r que:

Por tanto como conclusión de todo lo anterior se obtiene que para tener la copa medio llena debemos llenarla aproximadamente un 80% de la altura inicial. Igualmente si queremos llenar la copa un tercio de su volumen deberemos llenar hasta una altura del 70% y del 63% para la cuarta parte.
Mucho de lo aquí escrito está sacado del libro "Matemáticas de la vida misma" escrito por Fernando Corbalán.