Los múltiples usos prácticos de los polinomios

Hace unas semanas publicamos en Matemáticas y sus fronteras una entrada titulada: ¿Para qué sirven las raíces cuadradas? En la que se argumentaba sobre sus razones e importancia. Son muchos los temas que se estudian en matemáticas en Secundaria, y no siempre sabemos el porqué de su relevancia y su utilidad. Vamos a dedicarnos hoy a hablar de polinomios, entes matemáticos muy apreciados en el colegio.

Gráfica de un polinomio de grado 7

Recordemos que un polinomio en una variable x es una expresión algebraica que consta de una suma de productos de constantes y potencias de la variable x; cada uno de estos sumandos es un monomio. Puesto que tenemos varios monomios, de ahí la terminología de polinomio. Y podemos considerar polinomios con varias variables, no solo con una. En cualquier caso, los polinomios se pueden sumar, multiplicar y hasta dividir, y una de las más famosas construcciones es la regla de Ruffini.

Esta, por ejemplo, es una expresión genérica de un polinomio de grado n y de una sola variable

f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁ x + a₀   (*)

donde a₀ , a_1, …, a_n-1 , a_n son coeficientes reales.

Por supuesto, cuando tenemos un polinomio como este podemos pensar en calcular sus raíces, es decir las soluciones de la ecuación

f(x) = 0,

y el Teorema Fundamental del Álgebra (probado originalmente por Gauss) nos dice que este polinomio tendrá n soluciones.

A una expresión como la de arriba (*) la vamos a denominar una función polinómica. Se pueden representar gráficamente, y se usan en muchos problemas de economía y de ingeniería. En economía aparecen por ejemplo para modelizar los mercados, mostrando como los precios varían con el tiempo; o como subir o bajar el precio de un producto repercute en sus ventas; o también en el cálculo de impuestos.

Diseñando una montaña rusa con polinomios

En Ingeniería forestal, por ejemplo, necesitamos la geometría para calcular áreas, pero también los polinomios en problemas como calcular cuántos árboles necesitamos replantar después de haber talado una zona de un bosque.

Otros usos de los polinomios es el cálculo de la trayectoria de proyectiles (son trayectorias parabólicas), o en el cálculo de órbitas de satélites o cohetes. Recordemos que las cónicas se pueden expresar de manera algebraica como polinomios de segundo grado en dos variables.

También aparecen cuando expresamos matemáticamente las leyes elementales de la física o de la química, de manera que su conocimiento facilitará sin duda el estudio de estas materias. Pero también aparecen en el cálculo de la demanda de electricidad o de los niveles de agua de un embalse.

En Estadística, las rectas de regresión se expresan (como todas las rectas) con una ecuación de primer grado; estas rectas nos permiten ver como se ajustan los datos conseguidos. Y también pueden ser polinomios con más de una variable, como ocurre en la regresión lineal múltiple. El uso de polinomios en el área de la salud es amplio, desde el cálculo de las dosis más adecuadas de un medicamento, o el peso de un paciente enfermo en función del tiempo. Por poner solo un ejemplo, si queremos modelizar el ritmo circadiano en pacientes con hipertensión, buscamos la curva que mejor se adaapte a nuestros datos, en este caso un polinomio de grado cuatro, lo que nos permite optimizar las dosis del medicamento contra la hipertensión.

Uno de los usos de las funciones polinómicas es para aproximar curvas más complejas, ya que el Teorema de Weierstrass asegura que los polinomios son densos en el espacio de funciones con ciertas condiciones de compacidad. Y obviamente, es mucho más sencillo trabajar con polinomios. Sabemos además que las funciones trigométricas (y en realidad cualquier función) se puede expresar como una serie de potencias, con desarrollos de Taylor, cuya expresión es la de un polinomio “infinito”.

Si nos vamos a las aplicaciones en otros problemas matemáticos, otro uso de los polinomios sobre el que hemos hablado en varias entradas previas es en la clasificación de nudos, como el polinomio de Alexander, el de Conway o el de Jones, que son invariantes topológicos. Su relación con la biología y la física teórica ya se describió en esas entradas.

Y recientemente se han encontrado aplicaciones insospechadas a problemas de combinatoria, como por ejemplo el problema de las distancias distintas dados n puntos en el palno, planteado por Paul Erdös en 1946.

Finalmente, las curvas elípticas son usadas en criptografía, y no son más que expresiones polinómicas en dos variables tal y como muestran estos dos ejemplos:

Curvas elípticas

Sirva este breve texto para que se vea la importancia del estudio de los polinomios, que no son  una imposición gratuita en la enseñanza secundaria.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).