Los otros teoremas de Fermat

Seguimos contando más cosas sobre Pierre de Fermat. En una entrada reciente habíamos hablado del famoso teorema de Fermat y los intentos fallidos de resolución a lo largo de más de tres siglos. Pero este es solo uno de los problemas que Fermat propuso. Porque, aunque el trabajo oficial de Fermat no era el de matemático sino de abogado y juez, consagró sus momentos de ocio al planteamiento y resolución de problemas matemáticos.

Pierre de Fermat

Los problemas los lanzaba por la vía epistolar, escribiendo cartas que contenían retos dirigidos a la comunidad matemática europea; esto a veces tenía como consecuencia la aparición de rivalidades entre matemáticos de diferentes nacionalidades. Sus resoluciones quedaban muchas veces inconclusas, apuntadas en los márgenes de los libros, en ocasiones sin ninguna indicación de una posible prueba. En el envío de sus cartas, contó con la ayuda de Marin Mersenne, que servía de enlace entonces entre la comunidad matemática.

Muchos de los problemas planteados por Fermat son clásicos en teoría de números. Por ejemplo, los referidos a los números perfectos, aquellos cuya suma de divisores es el propio número. El primer ejemplo es el 6. Sus divisores son 1, 2 y 3, cuya suma iguala 6. Esta particularidad del 6 lo dotó de un significado místico por la escuela pitagórica; representaba la unicidad, la dualidad y la trinidad.

Euclides había probado en Los Elementos que 2^p−1(2^p − 1) es un número par perfecto siempre que 2^p − 1 sea primo. Estos son los llamados primos de Mersenne (cuando p es primo, lo que no garantiza que el correspondiente número de Mersenne lo sea).

Hay muchos resultados sobre números perfectos que aún no se ha demostrado, por ejemplo, si existen números perfectos impares. Tampoco se sabe si los números de Mersenne son infinitos. Lo que sí se sabe, evidentemente, es que no todos los números son perfectos. Los que no lo son pueden dividirse en dos tipos: aquellos cuya suma de divisores es menor que el número, que son los denominados números abundantes; y aquellos para los que la suma de divisores excede al propio número, que son los denominados números deficientes. Finalmente, también existen los números amigos: dos números son amigos cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro número y viceversa; por ejemplo, el 220 y el 284. A este tipo de números se le dio un significado místico; se creía que si dos personas comían dos panes en los que se inscribían tales números, entonces serían amigos para siempre.

En 1636 Fermat planteó el problema de cómo determinar la suma de los divisores de un número. René Descartes fue el primero en aceptar el reto y plantear un método. Dado que todo número puede expresarse como  el producto de potencias de sus factores primos

N= p₁^k₁ p₂^k₂ … p_n^k_n

cuyos divisores serán todas las combinaciones entre dichos factores, Descartes propuso un método que cubría los divisores anteriores de forma recursiva. Posteriormente, Fermat propuso un método alternativo aunque similar, pero que nunca apareció probado.

Otro resultado sobre primos se refiere a los llamados ahora números de Fermat; un número de Fermat es un número natural de la forma:

F_n = 2²ⁿ + 1

donde n es natural. Fermat conjeturó que todos ellos eran primos, pero Leonhard Euler probó que no era así, ya que

F₅ = 4294967297 = 641 x 6700417

Súbitamente, Fermat dejó de escribir a sus colegas matemáticos y se mantuvo en silencio más de diez años. Las consecuencias fueron que perdió a muchos de sus colaboradores; algunos habían muerto, y con otros perdió el contacto.

Este aislamiento llegó a su fin cuando Blaise Pascal le propuso algunos problemas sobre probabilidades. Pascal y Fermat son hoy en día considerados como los fundadores de la teoría de la probabilidad.

Otro campo en el que Fermat consiguió importantes resultados fue el de los números triangulares. Recordemos que un número triangular es aquel que se descompone en sumandos que forman un triángulo. Por ejemplo, el 10: 1+2+3+4.

El número 10 se denominó tetrakys y fue venerado como número de la cambiante creación. Sorprendentemente, todo número perfecto es triangular.

A pesar del misticismo y las cábalas pitagóricas, estos números no sólo demuestran una belleza matemática, sino que también pueden ser números claves en la naturaleza. Años después, el misticismo se ve corroborado en la aparición del patrón tetrakys en procesos físicos. En 1969, Murray Gell-Mann recibió el premio Nobel de Física al predecir la existencia de una partícula a partir del pico inconcluso del triángulo formado por diez partículas, clasificadas atendiendo a dos parámetros: hipercarga e isospin.

Este es el denominado decuplete del modelo estándard de la física de partículas, cuyas partículas elementales (aquellas formadas por dos o tres quarks) han sido ampliamente clasificadas y predichas en diagramas gráficos, todos correpondientes con polígonos regulares. La verdadera raíz de esta interpretación recae en la teoría de grupos y las representaciones irreducibles del grupo del modelo estándar, al que dedicamos una entrada de este blog hace unos meses, titulada Teoría de grupos, más allá del formalismo.

Murray GellMann

Dejando la corroboración física y volviendo al misticismo, el tetrakys representaba los cuatro elementos. La armonía de las esferas, y el ordenamiento del espacio: 0, 1, 2 y 3 dimensiones representadas por cada línea.

El concepto se generalizó fácilmente, siendo un número cuadrado el que puede descomponerse en sumandos que formen un cuadrado y así sucesivamente.

Para terminar con Fermat y la teoría de números, enunciamos uno de sus últimos teoremas: todo número es, o bien triangular, o bien la suma de dos o tres números triangulares. También, o es cuadrado, o la suma de dos o tres cuadrados. O pentagonal, con un enunciado similar.  Una vez más, el resultado fue consignado en otro margen de la Aritmética de Diofanto con una observación típica de Fermat: “La demostración de este resultado tampoco tiene cabida en este margen, pero pienso escribir un libro sobre ello”.

Sin embargo, Fermat cada vez se sentía más hastiado de no encontrar correspondencia ni interés en sus problemas planteados. En un extracto de unas de sus cartas se pone de manifiesto las querellas internacionales que propiciaba a costa de retar con sus problemas:

“Esperamos estas soluciones, y si Inglaterra o Bélgica o la Galia Celta, no las producen, entonces la Galia Narbonesa lo hará”.

Los últimos científicos con quienes mantuvo contacto, como Huygens y Pascal también se negaron a participar en la nueva teoría de los números. En la época, no se veía la utilidad de la resolución de tales problemas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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