Los T-Hexágonos mágicos o Magic T-Hexagons

Os hablé en una ocasión de los cuadrados mágicos, formados por números enteros colocados de tal forma que las sumas de esos números en filas, columnas y diagonales eran iguales…

… también lo hice de uno con una propiedad muy interesante, el cuadrado mágico de Euler, en el que un caballo de ajedrez, empezando sus movimientos desde la casilla número 1, puede pasar por las 64 casillas que tiene dicho cuadrado mágico en orden numérico y, por tanto, sin repetir ninguna (1, 2, 3, 4……61, 62, 63, 64)…

… y de otros cuadrados mágicos en los que los números se sustituían por formas geométricas, de manera que las sumas de dichas formas en filas, columnas y diagonales daban lugar siempre a la misma figura: los cuadrados mágicos geométricos o cuadrados geomágicos.

Pues bien, ahora os quiero hablar de otras figuras mágicas, aunque en esta ocasión no se trata de cuadrados formados por celdas cuadradas, sino de hexágonos formados por celdas triangulares…

… los magic T-Hexagons o, si lo traducimos al español, T-Hexágonos mágicos (la T es de triangle o triángulo). Otras traducciones la verdad es que quedan un poco “macarrónicas” (triángulo-hexágonos mágicos, hexágonos de triángulos mágicos…) así que, mejor lo dejamos así.

Esto sería un hexágono formado por celdas triangulares:

En concreto éste es de orden 2, y tiene 24 celdas triangulares.

En general un T-Hexágono de orden n tiene 6n² triángulos.

Bien, pero para que sea mágico nos falta algo… los números.

Así que vamos a ponerle números y, como tiene 24 celdas, del 1 al 24. Pero no de cualquier forma, ya que queremos que sea mágico, es decir, sus cuatro filas horizontales, sus cuatro diagonales que van de izquierda a derecha y sus otras cuatro diagonales que van de derecha a izquierda, deben sumar lo mismo.

Por ejemplo, un T-Hexágono mágico podría ser el siguiente:

Comprobemos que efectivamente lo es…

… vemos lo que suma cada fila…

… y cada diagonal…

Tanto cada fila como cada diagonal suma 75, que sería el número mágico o constante mágica de este T-Hexágono mágico de orden 2.

Otros ejemplos de T-Hexágonos mágicos de orden 2 podrían ser los siguientes:

La pregunta que nos podemos hacer es… ¿podemos conseguir muchos más T-Hexágonos mágicos de orden 2 utilizando los números del 1 al 24?

La respuesta es sí, y no pocos…

… ¡Casi 60 millones!

Exactamente hay 59.674.527  T-Hexágonos mágicos no congruentes de orden 2.

Eso sí, no es por desanimar, pero si esta cantidad os parece grande, os diría que es un poco “ridícula” en comparación con la cantidad de T-Hexágonos “no mágicos” que se pueden plantear. Por eso la importancia que tiene hablar, siempre que se pueda, en términos relativos y no absolutos.

Lo de no congruentes quiere decir que no se obtengan por una rotación (girar la figura), una simetría (vendría a ser como “darle la vuelta” de la manera que se la queramos dar) o una traslación (sería un poco “tonto” si me lo permitís, y ya sé que esto no es muy matemático, porque vendría a ser moverlo de sitio).

Por cierto, esta cifra y casi todo lo que vamos a ver después se lo debemos a los trabajos realizados por John Baker y David King. Digo “casi todo” porque me he permitido la licencia de completar algunas cosas y ampliar otras.

Otra cosa… si habéis hecho la comprobación en los otros dos T-Hexágonos mágicos de que efectivamente lo eran, habréis observado que, como ocurría en el primero, tanto cada fila como cada diagonal suma también 75.

De hecho en los 59.674.527 T-Hexágonos mágicos de orden 2 que hemos comentado que podemos encontrar ocurre lo mismo, y tiene su lógica.

Sin querer convertir esto en algo pesado, voy a explicar brevemente por qué ocurre esto, ya que además nos va a servir para otra cosa que quiero deciros después.

Hemos dicho que un T-Hexágono de orden 2 tiene 24 celdas triangulares, y como en ellas colocamos los números del 1 al 24, la suma total de los números de todas las celdas será la suma de los 24 primeros números naturales (1+2+3+4+…+21+22+23+24).

Dicha suma podemos calcularla fácilmente considerando que se trata de una progresión aritmética de diferencia 1, cuyo primer término es el 1 y el último término es el 24 (quien no conozca bien o no recuerde en qué consiste una progresión aritmética y cómo se calcula la suma de un número determinado de términos de la misma, le recomiendo que vea la entrada de este blog titulada 1+2+3+4+5+…+100).

Así, dicha suma es:

Es decir, dispongamos como dispongamos dichos 24 números en las celdas, la suma de todos ellos va a ser, lógicamente, siempre 300.

Como además en un T-Hexágono mágico de orden 2 hay 4 filas horizontales y hemos dicho que cada una de ellas debe sumar lo mismo, se deduce que la suma de las celdas de cada fila horizontal debe ser:

justo lo que habíamos dicho.

El mismo razonamiento seguiríamos para las cuatro diagonales de izquierda a derecha y para las otras cuatro diagonales de derecha a izquierda, obteniendo el mismo resultado.

¿Y esto es todo lo que nos puede dar de sí un T-Hexágono mágico de orden 2?

Ni mucho menos, si no serían mágicos pero tampoco tanto.

Por ejemplo, cada una de las regiones sombreadas de azul que se indican a continuación suman también 75 (la constante mágica):

Y las siguientes (en cada T-Hexágono) suman el doble de la constante mágica, es decir, 150:

Y hay más porque, en las siguientes figuras, en cada T-Hexágono las celdas sombreadas de distinto color suman lo mismo:

Bueno, después de esto yo creo que estos T-Hexágonos mágicos sí que parecen bastante mágicos ya.

Por cierto, no pretendo que los comprobéis todos (creo que todos y todas tenemos cosas bastante más interesantes y enriquecedoras que hacer) … aunque la condición humana que nos hace desconfiar de lo que nos dicen habrá llevado a más de uno y una a hacerlo (quizás no a comprobar todos pero sí alguno)… es normal y no está mal cuestionarse las cosas… yo diría que es algo bueno (yo lo hago).

Ahora nos podemos plantear otra cosa. Hemos comentado casi al principio de esta entrada que un T-Hexágono de orden n tiene 6n² triángulos.

Así, uno de orden 1 tendrá 6 celdas triangulares, uno de orden 3 tendrá 54 celdas (6·3² = 6·9 = 54), 96 celdas triangulares un T-Hexágono de orden 4…

… y utilizaríamos los números naturales del 1 al 6 en el de orden 1, los números naturales del 1 al 54 para el de orden 3, hasta el 96 para el de orden 4…

Pero… ¿se pueden conseguir así T-Hexágonos mágicos para cualquier orden?

Vamos a verlo ahora. O más bien, lo que vamos a ver es lo que no se puede conseguir.

Habíamos calculado lo que sumaban todas las celdas de un T-Hexágono de orden 2 y lo que debía sumar cada fila (y cada diagonal) del mismo para que fuese mágico (vimos que era 75). Pues, como suele hacerse mucho en matemáticas, vamos a analizarlo ahora para un caso general, es decir, para un T-Hexágono de orden n.

Análogamente a como hicimos con el de orden 2, para uno de orden n, del que sabemos (lo comentamos anteriormente) que tendría 6n² celdas triangulares, y aprovechando que se trata de una progresión aritmética en la que el primer término es el 1 y el último sería 6n², la suma de todas las celdas es la semisuma del primer y último término multiplicada por el número de términos de la sucesión, es decir:

Bien, eso es lo que suman todas las celdas.

Por otra parte, en un T-Hexágono de orden n hay 2n filas horizontales que, para que sea mágico, deben sumar cada una lo mismo. Con lo que, como ya hicimos para el de orden 2, la suma de las celdas en cada una de esas filas debe ser:

Los números que colocamos en las celdas triangulares son, como ya hemos dicho en varias ocasiones, números naturales (enteros positivos), con lo que la suma de los números de las celdas de una fila debe ser también un número entero.

Pues resulta que para que el resultado de la expresión anterior, que nos da la suma de las celdas de una fila, sea un número entero, n no puede ser impar (el numerador de la fracción tiene la misma paridad que n, si n es impar el numerador también lo es y si n es par el numerador también es par, y al estar dividido entre 2, si dividimos un número impar (que no es múltiplo de 2) entre 2, se obtiene un número no entero).

Por lo que se deduce, respondiendo a la pregunta que nos hacíamos, que el orden de un T-Hexágono mágico así construido debe ser par (2, 4, 6, 8…). Según esto, por ejemplo, no tenemos forma de colocar los números del 1 al 54 en un T-Hexágono de orden 3 y conseguir que sea mágico.

Eso sí, hay que tener en cuenta que a medida que el orden es mayor, el número de posibles T-Hexágonos no mágicos para dicho orden crece mucho, y bastante más que el de los T-Hexágonos mágicos que podemos encontrar, si es que los hay, con lo que se antoja como una tarea nada sencilla.

Pero hay una propiedad que sí cumplen todos los T-Hexágonos mágicos, sean del orden que sean, propiedad demostrada por John Baker y David King y que ellos han llamado “the Odd-Even property” (la propiedad Impar-Par), y es que la suma de los números de los triángulos cuyo vértice apunta hacia arriba es igual a la suma de los números de los triángulos cuyo vértice apunta hacia abajo.

Representado con colores sería así:

Y ya para ir terminando, teniendo en cuenta esto último visto y las simetrías observadas en los T-Hexágonos, hay otra propiedad también demostrada por Baker y King bastante curiosa, y que ellos han llamado “magic moments” (algo así como momentos mágicos), según la cuál los T-Hexágonos mágicos están físicamente equilibrados respecto a sus diagonales.

Es decir, si cada triángulo pesa lo mismo que el número que contiene, hay equilibrio de pesos respecto a un alambre que pase por cualquiera de sus diagonales…

… y también respecto a un alambre que pasase por los puntos medios de lados opuestos…

Y además, eso es algo que no sólo ocurre en los T-Hexágonos mágicos, sino también, por ejemplo, en los cuadrados mágicos…

… cuadrados con los que había comenzado la entrada y con los que la concluyo ahora, cerrando así esta entrada llena de “magia” matemática.

Fuentes:

Hall of Hexagons (http://www.drking.org.uk/hexagons/magic/thex.html)

Mathematische Basteleien (http://www.mathematische-basteleien.de/magichexagon.htm)