Más cuadrados mágicos.El problema del caballo

Una tarde cualquiera, afuera hace frío y las nubes gobiernan el cielo grisáceo. No apetece salir.

En el tablero todo es diferente, parece que brilla el sol cuando la artillería pesada ataca el flanco del rey, mientras los caballos sostienen el inusitado ataque. Me sumerjo en la belleza, en las infinitas posibilidades del juego, en la estrategia y el posicionamiento. En el ajedrez, como en la vida, cada paso que das tiene sus consecuencias.

Juega al ajedrez

Te lo recomiendo.El ajedrez mejorará tu creatividad, facilitará tu concentración y te ayudará a resolver problemas.Es un juego excepcional para disfrutar y además mejoraras tus resultados en matemáticas.

Si el ajedrez fuese un número sería el diez, sin dudarlo, porque rima y porque si existiera la perfección, este juego la alcanzaría.

Saltando

El caballo es una pieza diferente, la más elegante, la única que puede hacer un movimiento no lineal y saltar por encima de las demás piezas. Te dará muchas sorpresas!

Su movimiento es muy característico. Si está en una casilla blanca, sólo podrá ir a una casilla negra (y viceversa). Se mueve en forma de L. Puedes verlo en esta imagen.

El caballo puede moverse como máximo, a ocho casillas. Y como mínimo a dos; estando en una esquina del tablero.

El problema del caballo

Entre los problemas matemáticos inspirados en el ajedrez, uno de los más interesantes es el problema de la marcha del caballo. Consiste en recorrer las 64 casillas del tablero con un caballo, en 64 movimientos y sin pasar dos veces por la misma casilla.

Hay dos opciones:

- Empezar y terminar en la misma casilla (circuito cerrado). Más complicado.

- Empezar en una casilla y terminar en otra (circuito abierto). Más “sencillo”

Pinceladas de historia

En el devenir de los siglos, matemáticos de todo el mundo se han interesado por este enigma.

Los primeros estudios del problema del caballo se encuentran en un manuscrito del siglo IX, que recoge soluciones de dos grandes ajedrecistas árabes. Hacia mediados del siglo XVIII entre los círculos matemáticos europeos, este enigma tuvo un gran auge, principalmente por el enorme número de soluciones posibles.

Otra vez Euler

El trabajo más importante en relación a este problema, se atribuye al genial Leonhard Euler, que destacó por sus ingeniosas y fantásticas soluciones.

Una de las soluciones que dio este genio matemático asombró por su belleza. Euler construyó un cuadrado mágico donde las filas y las columnas sumaban 260. El caballo se desplaza desde la casilla 1 hasta la 64 en orden numérico. Puedes comprobarlo en la siguiente imagen.

Si ya de por sí, el desarrollo de la marcha del caballo por todo el tablero es muy difícil de conseguir, añádele además conseguir un cuadrado mágico. Impresionante!

No sólo eso!  Como  curiosidad  añadida, al dividir el tablero en cuatro cuadrados iguales (diferenciados por el color) obtenemos 4 cuadrados mágicos de constante 130. Un alarde de magia matemática, esa que solo los grandes genios han plasmado a lo largo de la historia. En el artículo anterior te hablé de cuadrados mágicos fascinantes; pero este es mi favorito y merecía una entrada para el solito.

Estrategias de resolución

Encontrar una solución simplemente moviendo el caballo “al tanteo” es imposible. Pocos han sido capaces de encontrar un método que facilitase el proceso.

Siempre ayuda dividir un problema en pequeñas partes. Una buena estrategia inicial sería dividir el tablero en pequeñas porciones. Hay que tener claro que recorridos son posibles y enlazarlos hasta completar el tablero.

Aunque Euler planteó principalmente recorridos cerrados, que son más elegantes y además permiten dar solución al problema desde cualquier casilla inicial,  para obtener el cuadrado mágico estableció algunas pautas para la resolución general de este problema.

En este enigmático problema, Euler “dividió” en tablero en cuatro partes, en cuadrados de 16 casillas (4×4) y utilizando la búsqueda de patrones , la simetría y su enorme genialidad, pudo resolver el problema.

Otro bonito problema que se puede trabajar en clase es este: ¿Cuántos cuadrados tiene un tablero de ajedrez? La estrategia en la resolución de problemas es muy importante trabajarla en cualquier curso.

¿Cuál es el número posible de soluciones al problema planteado?

No existe consenso acerca del número total de soluciones posibles. Pero, gracias a la ayuda de los ordenadores, en 1995 Löbbing y Wegener pusieron a trabajar a 20 ordenadores para calcular posibles variantes para el paseo del caballo sin repetir ninguna casilla y obtuvieron una cifra de … 33.439.123.484.294. Más de 33 billones de soluciones posibles! ¿Cuantos siglos harían falta para probarlas todas?

 A pesar de su enunciado sencillo el problema del caballo ha suscitado el interés de muchos matemáticos, y parece que lo seguirá haciendo durante bastante tiempo.

Quien quiera profundizar en el estudio del problema del caballo, puede hacerlo aquí.

Si consigo que algún lector se anime a aprender a jugar al ajedrez, ya me quedaré satisfecho. Por lo demás, sigue disfrutando de las matemáticas, que son más divertidas de lo que parecen …

¿Conocías este problema? Espero que te haya resultado interesante. Gracias por estar ahí.

Fuentes 1 2     Imágenes 1 2 3