El próximo viernes 24 de octubre Moubariz Z. Garaev (Universidad Nacional Autónoma de México) impartirá la conferencia “Sum-product problems in finite fields”, dentro del programa de coloquios conjuntos ICMAT-UAM. Será a las 11:30 en el Aula Naranja del ICMAT. Javier Cilleruelo, investigador de la UAM, miembro del ICMAT y organizador de la jornada, presenta a Garaev.
Moubariz Z. Garaev (1967, República de Azerbaiyán) destacó desde muy joven en las matemáticas. Fue el primer clasificado durante tres años consecutivos en la Olimpiada Matemática en la República de Azerbaiyán y obtuvo el segundo premio en la Olimpiada Matemática de la URSS. Ya por entonces estaba claro que su futuro iba a ser la matemática, y en esta materia realizó sus estudios universitarios en la Universidad Estatal de Moscú. Desde 2003 es profesor investigador en el Centro de Ciencias Matemáticas de la UNAM en Morelia (México).
Su obra abarca muchos aspectos de la teoría de los números, entre ellos la función zeta de Riemann, las sumas trigonométricas, estimaciones suma-producto de conjuntos en cuerpos finitos y estimaciones no triviales de soluciones de congruencias. Aunque gran parte de su obra más importante ha sido una labor individual, también ha colaborado con matemáticos de la talla de Bourgain o Konyagin. Quien escribe esta nota también ha tenido la suerte de colaborar con el profesor Garaev y ha sido testigo de la profundidad y originalidad de sus ideas, así como de la facilidad con la que combina argumentos analíticos y combinatorios.
Especialmente apreciado por la comunidad científica ha sido su tratamiento de los problemas suma-producto en cuerpos finitos y su aplicación a estimaciones de sumas trigonométricas. Sobre eso tratará el Colloquium que impartirá en el ICMAT, dentro del programa de coloquios conjuntos UAM-ICMAT. Será el próximo 24 de octubre a las 11:30, bajo el nombre de ”Sum-product problems in finite fields”.
Moubariz Z. Garaev
Problemas suma-producto en cuerpos finitos
Paul Erdös y Endre Szemeredi (medalla Abel, 2012) demostraron que no existe ningún conjunto de números enteros A tal que tanto el tamaño del conjunto suma A+A como el del conjunto producto A·A fueran pequeños. Mientras el primero de estos conjuntos es pequeño cuando A se parece a una progresión aritmética, el segundo lo es cuando A se parece a una progresión geométrica. De alguna manera este resultado afirma que no existen conjuntos que simultáneamente se parecen a progresiones aritméticas y a progresiones geométricas. En cuerpos finitos es fácil formular el problema análogo aunque su tratamiento es bastante más difícil.
Garaev (2008) obtuvo una estimación no trivial para el máximo de estos dos tamaños (es decir, del conjunto suma y del conjunto producto) para cualquier conjunto en un cuerpo primo de orden p, de tamaño mayor que la raíz cuadrada de p, siendo su estimación óptima en un cierto rango. Bourgain, Katz, Konyagin y Tao (2004) obtuvieron una estimación no trivial para conjuntos A cuyo tamaño es menor que la raíz cuadrada de p, demostrando que el máximo del tamaño de A+A y A.A es mayor que el tamaño de A elevado a una potencia 1+δ, para algún δ >0. Garaev (2007) no sólo dio una estimación explícita con δ=1/14, sino que aportó nuevas ideas que permitieron simplificar de manera notable la demostración del resultado original.
El interés de Garaev por las estimaciones suma-producto estuvo motivado por las aplicaciones a la estimación de sumas trigonométricas que previamente habían encontrado Bourgain y Konyagin. En el Colloquium Garaev hablará también sobre un trabajo reciente con Bourgain donde aplican las estimaciones suma-producto a estimaciones de sumas tipo Kloostermann.
“Sum-product problems in finite fields”, Moubariz Garaev (Universidad Nacional Autónoma de México). Viernes 24 de octubre, 11:30. Aula Naranja, ICMAT.
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Javier Cilleruelo es investigador de la UAM y miembro del ICMAT
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