¿Es posible que una expresión en la que intervengan raíces cuadradas y los números e y π (y que no sea trivial) sea, en realidad un número entero?
Según el afamado divulgador Martin Gardner (cf. [1]), parece que el matemático John Brillo de la Universidad de Arizona logró porbar una antigua conjetura del gran Ramanujan de 1914 que aseguraba que el número es, en realidad, el número entero 262.537.412.640.768.744, y que, en honor del matemático hindú, se le conoce como constante de Ramanujan (no confundir con la Constante de Ramanujan-Soldner)
Bueno, nada más lejos de la realidad (ya nos lo contaron en Gaussianos). El número anterior no es entero, sino irracional, pero verdaderamente está bastante cerca del entero que decimos. En realidad, se puede comprobar que
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es decir, que el número
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Por cierto, en la referencia que damos, no es que Martin Gardner se equivocara, es que ese número salió el April Fool's Day (1 de Abril) de 1975 y se trataba de una inocentada, tal y como el propio Gardner tuvo que admitir públicamente (para dejar de recibir correos, digamos, curiosos) en julio de 1975.
Pero, ¿hasta qué punto es este hecho una curiosidad? Me explico mejor, ¿hay otras complicadas expresiones numéricas cuyo resultado sea casi un número entero? Sin ir más lejos, modificando un poco la expresión anterior se pude conseguir lo siguiente:
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y podemos comprobar que dista de un entero menos que
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Pero aún podemos ir más lejos, ya que
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A la vista de estos ejemplos, parece que tiene que haber algo ahí. Y así es. Tras todas estas curiosidades se esconde una teoría matemática, cuyo punto de partida son las expresiones del tipo
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Simplemente deciros un par de cosas. Si definimos la función
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donde
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Pero ya está bien de tecnicismos, que a los que les interesen ya tienen suficiente por donde bichear con los enlaces dados. A continuación os dejo otros ejemplos más de números casi enteros construidos a partir de funciones modulares como la anterior:
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o bien
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Pero no sólo se consiguen números casi enteros a través de formas modulares. Hay otros métodos. Por ejemplo, teniendo en cuenta que
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Pero más curiosas son otras expresiones de números casi enteros como
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Otra curiosa aparición de los números casi enteros ocurre en el siguiente dibujo
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![Números casi enteros Números casi enteros](https://m1.paperblog.com/i/26/262790/numeros-casi-enteros-L-585EOd.jpeg)
![Números casi enteros Números casi enteros](https://m1.paperblog.com/i/26/262790/numeros-casi-enteros-L-zttcOO.jpeg)
![Números casi enteros Números casi enteros](https://m1.paperblog.com/i/26/262790/numeros-casi-enteros-L-0JhckV.jpeg)
Si queréis ver más números casi enteros curiosos de este tipo, podéis acudir a la referencia [3].
Espero que os haya gustado esta pequeña aproximación a los números casi enteros.
Tito Eliatron Dixit
PD: Esta entrada va a formar parte de la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el Blog de Sangakoo.
Referencias
[1] M. Gardner, Mathematical Games, Scientific American 232 (4) (1975), 127.
[2] F.Chamizo y D.Raboso, Fórmas modulares y números casi enteros, en El Diablo de los Números, La Gaceta de la RSME, Vol. 13 (2010), Núm. 3, Págs. 539–555 (disponible en PDF en la web del primer autor)
[3] E.W.Weisstein, Almost Integer, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[4] E.W.Weisstein Ramanujan Constant. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.