Números casi enteros

¿Es posible que una expresión en la que intervengan raíces cuadradas y los números e y π (y que no sea trivial) sea, en realidad un número entero?
Según el afamado divulgador Martin Gardner (cf. [1]), parece que el matemático John Brillo de la Universidad de Arizona logró porbar una antigua conjetura del gran Ramanujan de 1914 que aseguraba que el número es, en realidad, el número entero 262.537.412.640.768.744, y que, en honor del matemático hindú, se le conoce como constante de Ramanujan (no confundir con la Constante de Ramanujan-Soldner)
Bueno, nada más lejos de la realidad (ya nos lo contaron en Gaussianos). El número anterior no es entero, sino irracional, pero verdaderamente está bastante cerca del entero que decimos. En realidad, se puede comprobar que

es decir, que el número

dista de un entero menos que .
Por cierto, en la referencia que damos, no es que Martin Gardner se equivocara, es que ese número salió el April Fool's Day (1 de Abril) de 1975 y se trataba de una inocentada, tal y como el propio Gardner tuvo que admitir públicamente (para dejar de recibir correos, digamos, curiosos) en julio de 1975.
Pero, ¿hasta qué punto es este hecho una curiosidad? Me explico mejor, ¿hay otras complicadas expresiones numéricas cuyo resultado sea casi un número entero? Sin ir más lejos, modificando un poco la expresión anterior se pude conseguir lo siguiente:

y podemos comprobar que dista de un entero menos que

, lo que permite calcular hasta el 31º decimal de π sin más que tomar logaritmos, es decir, con 31 decimales exactos.
Pero aún podemos ir más lejos, ya que dista de un entero menos que ; y ya si le restamos 744 y al resultado le extraemos la raíz cúbica... el entero más cercano estará a menos que .
A la vista de estos ejemplos, parece que tiene que haber algo ahí. Y así es. Tras todas estas curiosidades se esconde una teoría matemática, cuyo punto de partida son las expresiones del tipo con , y (formas cuadráticas binarias) y que son algo muy relacionado con una simple ecuación de segundo grado. Las matemáticas que hay detrás son una teoría llamada de Formas Modulares y en la que no vamos a entrar.
Simplemente deciros un par de cosas. Si definimos la función

donde , entonces la función es una función modular, y éstas tienen la propiedad que los coeficientes de su desarrollo en Serie de Fourier son números enteros. Y como esta serie converge muy rápidamente, simplemente truncando el desarrollo se pueden conseguir números casi enteros.
Pero ya está bien de tecnicismos, que a los que les interesen ya tienen suficiente por donde bichear con los enlaces dados. A continuación os dejo otros ejemplos más de números casi enteros construidos a partir de funciones modulares como la anterior:

o bien

Pero no sólo se consiguen números casi enteros a través de formas modulares. Hay otros métodos. Por ejemplo, teniendo en cuenta que cualquier aproximación de nos puede proporcionar un número casi entero. Así, por ejemplo, . ¿Que cómo sale esto? muy fácil, esto viene de aproximar . Como , resulta que . Y como debe ser .
Pero más curiosas son otras expresiones de números casi enteros como o esta otra atribuida (esta vez es cierto) al propio Ramanujan . Aunque la que más me ha gustado, por involucrar a 3 de los irracionales más famosos, es la siguiente

Otra curiosa aparición de los números casi enteros ocurre en el siguiente dibujo
Si medís con una regla, veréis que . Pero no es cierto. En realidad en esta disección del triángulo, tal y como apuntó E. Pegg Jr., es un número casi entero de la siguiente forma:

Si queréis ver más números casi enteros curiosos de este tipo, podéis acudir a la referencia [3].
Espero que os haya gustado esta pequeña aproximación a los números casi enteros.
Tito Eliatron Dixit
PD: Esta entrada va a formar parte de la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el Blog de Sangakoo.

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Referencias
[1] M. Gardner, Mathematical Games, Scientific American 232 (4) (1975), 127.
[2] F.Chamizo y D.Raboso, Fórmas modulares y números casi enteros, en El Diablo de los Números, La Gaceta de la RSME, Vol. 13 (2010), Núm. 3, Págs. 539–555 (disponible en PDF en la web del primer autor)
[3] E.W.Weisstein, Almost Integer, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[4] E.W.Weisstein Ramanujan Constant. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.