Números racionales e irracionales

Imagen: Jfgornet

Todas las cosas tienen su final, y las vacaciones no son una excepción, así que aquí estoy de vuelta. El no ir a trabajar en periodos como éste, me permite ver de vez en cuando el concurso Saber y Ganar. El martes de la semana pasada (o el lunes, no estoy seguro), una de las preguntas que le hicieron a un concursante trataba sobre los números irracionales. Tras una introducción al número Pi, se le pregunta al concursante por qué el número π es un número irracional, y se le ofrecen tres posibles respuestas (los textos no son literales, ya que estoy escribiendo de memoria):

1. Es la raíz cuadrada de un número negativo.
2. Cada decimal se obtiene como la suma de los dos anteriores.
3. Tiene un número infinito de decimales.

Tras poner una cara un poco rara, el concursante contestó que en realidad, ninguna de las tres respuestas era correcta, pero que si debía responder con una de las tres, elegía la tercera.

Y es que un número irracional, si bien tiene un número infinito de decimales, no es la característica que lo define. No todos los números con infinitos decimales son irracionales, como podemos comprobar con el conocido 1/3 (0,3333...). En general cualquier fracción irreducible en cuyo denominador haya factores primos distintos del 2 y el 5, tendrá infinitos decimales.

La definición correcta de número irracional es algo que se estudia en el colegio: un número es irracional si no puede expresarse como una fracción (o razón, de ahí su nombre) de dos enteros. Como ejemplos clásicos tenemos el mencionado π, la raíz cuadrada de 2 (y en general, cualquier raíz cuadrada de un número entero que no sea el cuadrado de un otro entero), o el número e. Una característica de todo número irracional es que tiene infinitos decimales, pero a diferencia de con los números racionales, no hay una secuencia que se repita. Así, 1/3 tiene infinitos decimales, pero siempre es «3». La fracción 1/7, por ejemplo, también tiene infinitos decimales (0,142857142857...), pero en este caso es «142857» la secuencia que se repite. Con los numeros irracionales, sin embargo, no ocurre eso.

No puedo resistirme a comentar una curiosidad. Antes he mencionado que cualquier fracción en cuyo denominador haya un factor primo distinto de 2 y 5, tendrá infinitos decimales. Podéis hacer todas las pruebas que queráis. ¿Por qué si el denominador es únicamente factor de 2 y 5 no aparecen infinitos decimales, y el el resto de casos sí? Pues porque utilizamos un sistema en base 10, y precisamente 10 es factor de 2 y 5 (2x5=10).

¿Como? Bueno, en el colegio nos enseñaron también que el sistema de numeración que utilizamos (esto es, la forma que tenemos para representar los números) es posicional y en base 10. Es posicional porque dependiendo de la posición de un dígito, tiene un valor u otro. Así, en el número 147, el 1 nos está indicando en realidad «1 centena» (100), el 4 «4 decenas» (40), y el 7, «7 unidades» (7). Nuestro sistema es además en base 10 (o decimal), porque utilizamos 10 dígitos distintos para representar todos los números, de forma que cada posición equivale a una potencia de 10. Es decir, 147 es 100 + 40 + 7, que a su vez es 1·10² + 4·10¹ + 7·10⁰.

Fijáos ahora en lo siguiente. ¿Qué ocurre en esta representación si multiplicamos un número entero por 10? Fácil, que estamos «añadiendo un cero a la derecha». Así, en nuestro ejemplo anterior, 147 x 10 = 1470. ¿Y si multiplicamos un número con decimales? Pues que estamos «desplazando la coma a la derecha». Así, 1,25 x 10 = 12,5. Como consecuencia, cualquier número con una cantidad finita de decimales, al ser multiplicado por 10 tantas veces como decimales tenga, obtenemos un número entero. Si multiplicamos 1,25 por 10, dos veces, obtendremos 125.

Pensemos ahora en términos de fracciones. Si tenemos una fracción (irreducible) cuyo denominador sea únicamente factor de 2 ó 5, y multiplicamos una y otra vez por 10, llegará un momento en el que el numerador sea divisible por el denominador, puesto que estamos multiplicando por 2 y por 5. Cuando lleguemos a ese punto, tendremos un número entero. Pero si en el denominador hay otros factores distintos de 2 y 5, no importa cuantas veces multipliquemos el numerador por 10 (cuánto desplacemos la coma a la derecha). Nunca será divisible entre el denominador (quedarán decimales a la derecha de la coma).

Menciono esto como curiosidad, porque el que un número racional tenga una cantidad finita o infinita de decimales, depende del sistema numérico de representación. Así, en base 10, 1/5 es 0,2 (un solo decimal), mientras que en base 2 (o binario) sería 0,001100110011.. repitiendo «0011» hasta el infinito.