Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima séptima edición, también denominada 9.1, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo
Optimización matemática
Trata de la elección del mejor elemento respecto un conjunto de ellos que pudieran ser también seleccionables. El conjunto se representa mediante una función y la optimización sería la herramienta encargada de discriminar el óptimo de entre todo ese conjunto, consiguiendo con él un valor determinado para esa función. Ese valor determinado, máximo o mínimo según el problema, será el resultado a elegir producto de la optimización. En esta búsqueda se requiere también del cumplimiento de una serie de restricciones impuestas por la propia naturaleza del problema.
Simplificando; siendo la función f(x)= axn+bxm+c a optimizar, se buscaría el valor concreto de x que maximice o minimice f(x), cumpliéndose unos requisitos; p.ejem que el valor de f(x) sea menor a d.
Funciones polinómicas
Son expresiones matemáticas que permiten representar algún problema científico. Trasladar esa función a forma de ecuación produce la modelación del problema siendo posible la busqueda de la solución, buscando el menor error de aproximación a la realidad representada. Dependiedo del grado de la función (el mayor valor entre n y m) se representará un tipo de problema.
Por ejemplo; con grado 1 quedaría de la forma f(x)= ax1+c siendo esta una línea recta y pudiendo representar el crecimiento de una población; de grado 2 sería f(x)= ax2+bx1+c y una parábola, pudiendo representar un movimiento de aceleración constante.
Método Simplex
Utilizado para resolver problemas de programación lineal en la optimización de una función objetivo sin límite de número de variables y restricciones. También es conocido como método Solver gracias al Excel.
Este método de resolución fue desarrollado en 1947 entre el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, ambos crearon un algoritmo capaz de solucionar problemas con restricciones y variables. La utilización de la teoría de matrices en el método Simplex es irrenunciable, pués el algoritmo se basa en ella. Este trabaja con ecuaciones y restricciones a transformar en ecuaciones, mediante la llamada variable de holgura, para poder así modelar el problema.
También hay otros tipos de programaciones: fraccionarias, cuadráticas, no lineal, de variaciones, dinámica y un largo etcétera; todas ellas desarrolladas ampliamente en los últimos tiempos por ser uno de los campos de investigación más trabajados por sus aplicaciones prácticas. Esto ha producido grandes y rápidos avances de algoritmos muy eficientes en la resolución de problemas planteados. Por ejemplo: Producción de bienes que se crean a partir de distintos proveedores, costes de transporte de varias mercancias, asignación de producción eléctrica en función de la demanda horaria, etc.
El Fin de la Eternidad
La novela narra las peripecias de un cuerpo de especialistas llamados Eternos que viajan en el tiempo para proteger y mejorar el destino de la humanidad. Estos viven fuera de la realidad en una especie de pasillo atemporal el cual les permite viajar al futuro y pasado. En estos viajes obtienen información sobre qué hay que manipular para poder obtener las mejoras. Actúan mediante pequeños cambios en la realidad presente, los cuales acarrean consecuencias futuras mejores para la vida humana. En una suerte de efecto mariposa, una pequeña manipulación produce cambios importantes en el devenir futuro humano.
La sonrisa de Harlan brilló por un momento y luego desapareció. Era un RMD, el Resultado Máximo Deseado. Y había ocurrido en el acto. Los cambios no se producían siempre en el preciso instante de la Ejecución. Si los cálculos tenían un pequeño grado de error, podían pasar horas o días antes de que el Cambio se manifestase (contando, desde luego, en fisio-tiempo). Esto solo ocurría una vez descartados todos los posibles grados de libertad. Mientras existiera una posibilidad matemática de acontecimientos alternativos, el Cambio no se producía.
Harlan se envanecía de que, cuando él calculaba el cambio mínimo necesario, cuando era su mano la que realizaba la Ejecución, las variaciones aleatorias se anulaban inmediatamente (…)
Manipulando la realidad
Pongámonos ahora en el papel de un Eterno obligado a variar la realidad mínimamente para obtener el “resultado máximo deseado”, consiguiendo a futuro mejorar la vida humana.
En la línea temporal actual Francisco tendrá mañana a las 10 am una entrevista para un puesto de investigador en un hospital universitario. Él tiene planeado levantarse a las 8 am para ducharse, vestirse, desayunar y salir. Siempre desayuna cereales, pero esa mañana la caja estará vacía teniendo que ir a desayunar a un bar cercano, donde se manchará la camisa al tropezar el camarero con él. Esto produce que vuelva a su casa a cambiarse, haciendo que llegue tarde a la entrevista y no consiga el puesto.
Nosotros, que somos Ejecutores, debemos cambiar esa realidad para que Francisco consiga el trabajo. Vamos a optar a que el “cambio mínimo necesario” sea que la caja de cereales tenga una ración de desayuno que sacie a Francisco (evitar que se manchara en el bar obligaría también a cambiar algo sobre el camarero, por lo que se desecha). El tiempo en tomarse esos cereales será el punto crítico de este problema. Francisco suele comer cereales a razón de 8 cucharadas cada 4 minutos por lo que habrá que minimizar el número de cereales a poner en el cartón para saciarlo en el menor tiempo posible.
Plantearemos la búsqueda del mínimo número de cereales para no necesitar ir a desayunar fuera, tardar el menor tiempo posible y así no llegar tarde a la entrevista.
La representación gráfica de este problema se relaiza en un eje cartesiano, donde el eje X será el tiempo y el eje Y las cucharadas. Matemáticamente habrá que minimizar el área del triángulo formado por los ejes y la recta que pase por el punto P(4,8).
Ecuación de la recta: Y-8=m( X-4 ) ; Para X=0 se obtiene la altura del triángulo→ Y=8-4m ; Para y=0 se obtiene la base del triángulo→ X=4-8/m
Área del triángulo: S=1/2[b·h]= 1/2[(4-8/m)(8-4m)]= (2-4/m)(4-2/m)
Para hallar el valor de “m” que minimiza ese área se utiliza el valor obtenido de la primera derivada del área igualada a cero.
S’=(2/m2)-1=0 → m=±√2 ≅±1’41 ; el valor a escoger es el negativo ya que sino nos moveríamos por valores negativos de tiempo. La ecuación quedaría como: Y=-1’41X+13’65
Para asegurar que este valor de “m” es el correcto se hace uso de la segunda derivada con el valor obtenido, si el resultado es mayor a cero entonces es correcto, ese será el valor de “m” que minimiza el área del triángulo.
S”=-4/m3 → S”(-√2)>0 ; por lo que el valor de m=-√2 minimiza.
Pero también hay algunas restricciones como: tardar más de un minuto en desayunar y menos de siete; como también coger en cada cucharada entre 3 y 10 piezas.
Todas estas rectas limitan el area rallada, dentro de la cual se cumplen todos los requisitos. Así, por ejemplo, añadiremos al cartón cereales para que tenga 9 cucharadas y así Francisco tarde entre 1 a 3 minutos en desayunar, llegue a tiempo a la entrevista, consigua el puesto y en un plazo de 7 años desarrolle una vacuna contra el cáncer.
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