El martes pasado estuve en un curso sobre el método ABN (cálculo Abierto Basado en Números) destinado a las madres y padres del colegio donde estudian mis dos hijas, el CEIP Alba Plata. Sin duda, una extraordinaria y coherente idea por parte del colegio organizar dicho curso, pues difícilmente podrían los padres y madres, como parte de la comunidad educativa, ayudar a sus hijas e hijos si no conocen la metodología con la que están trabajando.
Antes de seguir, soy consciente de que la Real Academia Española dice que es innecesario el desdoblamiento del sustantivo en su forma masculina y femenina (yo he utilizado madres y padres, y también hijas e hijos)… y que debe realizarse el uso genérico del masculino por “economía de lenguaje”… aunque, puestos a economizar ¿por qué no emplear el femenino genérico? … vaya, que la RAE dice que eso sería incorrecto… bueno, pues me vais a permitir que me quede con padres y madres (y viceversa) y con hijas e hijos que, aunque con ello parece ser que estoy incurriendo en la “innecesariedad”, no he adentrado en la “incorrección”, así que sigo siendo “correcto”.
Volvamos al asunto de esta entrada, y perdonad por la puntualización.
En el transcurso de dicho curso, antes de ver la multiplicación, el maestro que lo impartía, Juan, expuso a los asistentes, al margen de la propia metodología ABN, la multiplicación mediante el uso de los dedos, como una actividad de apoyo al aprendizaje de las tablas del 6, 7, 8 y 9 y, lo que es más importante, como una forma de generar sorpresa y curiosidad.
Como he comentado, se trata de un método para multiplicar números mayores de 5 (cinco son los dedos de una mano), es decir, todas las combinaciones posibles de los números 6, 7, 8 y 9. Por ejemplo 6 x 7, 8 x 9, 6 x 9…
¿Y en qué consiste?
En cada mano se levantan los dedos que corresponden a cada número, tal y como se muestra en la siguiente imagen…
… es decir, se levantan tantos dedos como unidades tenga el número por encima de 5. Da igual la posición del dedo que levantemos, lo realmente importante es que al 6 le corresponde un dedo subido (6 – 5 = 1), al 7 dos (7 – 5 = 2), al 8 tres (8 – 5 = 3) y al 9 cuatro (9 – 5 = 4).
Así, si el producto que queremos calcular es, por ejemplo 7 x 8, colocaríamos las manos de la siguiente manera…
Ahora, sumamos primero los dedos que están extendidos o abiertos, y lo que obtenemos son las decenas del resultado. En nuestro ejemplo sería 2 + 3 = 5 (decenas), es decir, 50 (unidades).
Y a continuación multiplicamos los dedos que están contraídos o cerrados, y el número obtenido corresponde a las unidades del resultado. En nuestro caso: 3 x 2 = 6 (unidades).
Ahora, sumamos ambos números y obtenemos el resultado. En el ejemplo que estamos viendo: 50 + 6 = 56
No hace falta decir que, inmediatamente después de la exposición del método, el movimiento de manos con dedos extendidos y cerrados de los allí presentes fue notorio… y es que estas cosas hay que probarlas y … volver a comprobarlas.
Entonces, surgió la pregunta de uno de los padres… ¿Y esto, por qué funciona?
Pues si os parece bien, lo que en ese momento yo hice con el papel y el bolígrafo que llevaba por si necesitaba tomar alguna nota, lo vamos a hacer aquí juntos… a ver si conseguimos deducir por qué “funciona” este método de los dedos.
Vamos a intentar traducir o plasmar los pasos que vamos haciendo al multiplicar con los dedos en una expresión algebraica. Que nadie se asuste, porque es muy sencillo.
Podríamos también probar todos los casos posibles de multiplicación con este método y comprobar que, efectivamente, se obtiene siempre el resultado correcto (que más o menos fue lo que hicieron los asistentes al curso en aquel momento). En este caso no son muchos y sería viable, pero en muchas ocasiones la cantidad de combinaciones posibles y, con ello, posibilidades a comprobar, son tantas que resultaría realmente tedioso e improductivo.
Por eso recurrimos, como he comentado antes, a una expresión algebraica que nos permita plantear el caso general.
Básicamente, la diferencia entre una expresión algebraica y una puramente numérica es que, en la primera, utilizamos letras para representar cantidades que pueden ser variables, y en la segunda sólo utilizamos números.
Es decir, una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones que nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones o situaciones del lenguaje habitual.
Así que, lo primero es definir las variables (las cantidades o números que pueden variar representados por letras). En nuestro caso está claro que dichas variables serán los números que queremos multiplicar y que, como hemos comentado, pueden tomar los valores 6, 7, 8 ó 9.
Podemos llamar, por ejemplo x a uno de esos números e y al otro número.
De esta manera la multiplicación de los dos números, escrita así de forma general, sería:
x · y
Por cierto, si queremos indicar de una manera más “formal” matemáticamente lo que hemos comentado antes de los posibles valores de x e y, lo haríamos así:
Bien, lo dejamos ahí y vamos a reproducir lo que hacemos con este método de los dedos.
Como hemos dicho que extendemos o abrimos tantos dedos como unidades sobrepase de 5 el número que estamos representando, en una de las manos tendremos abiertos dicho número x menos cinco:
x – 5 (dedos abiertos en una mano)
Y en la otra mano, análogamente, los dedos abiertos serán:
y – 5 (dedos abiertos en la otra mano)
Bien, ya sabemos cómo expresar los dedos abiertos en cada mano. Vamos a intentar expresar ahora los dedos cerrados.
Los dedos cerrados en cada mano son, básicamente, los que no están abiertos. Es decir, si en cada mano hay 5 dedos en total, los dedos cerrados serán cinco menos los que estén abiertos:
Y, en la otra mano:
Perfecto, ya tenemos la expresión tanto de los dedos abiertos como de los dedos cerrados en cada una de las manos.
Ahora sólo nos queda hacer lo que nos dice el método de multiplicación con los dedos.
“Sumamos primero los dedos que están extendidos o abiertos…“
“… y lo que obtenemos son las decenas del resultado“. Para expresar que son decenas lo que hacemos es multiplicar lo de antes por diez:
Vamos con la otra parte… “Y a continuación multiplicamos los dedos que están contraídos o cerrados, y el número obtenido corresponde a las unidades del resultado“
“Ahora, sumamos ambos números y obtenemos el resultado“. Pues eso, sumamos las dos expresiones anteriores:
Qué no cunda el pánico aunque se vea así un poco feo.
¿Qué podemos hacer ahora?
… eso es, desarrollar la expresión algebraica anterior realizando las operaciones que se puedan.
Vamos a ello…
y éste es el momento en que nos decimos a nosotros mismos “esto tiene buena pinta”, porque se anulan casi todos los términos de la expresión entre sí…
… quedándonos…
que es justo lo que queríamos: el producto o multiplicación de los dos números.
(Si esto fuera un examen, nos daría en este momento un “subidón” considerable)
Es decir, el método de la multiplicación mediante el uso de los dedos “funciona” porque lo que estamos haciendo con él es equivalente a multiplicar los dos números.
Pues ya está, ya podemos estar tranquilos si lo utilizamos, porque tenemos la seguridad de que va a “funcionar”.
Por cierto, este método de los dedos, aparte de valer para multiplicaciones con los números 6, 7, 8 y 9 como se ha indicado, también nos valdría para productos con el 5 (no extenderíamos ningún dedo y estarían los cinco cerrados) y el 10 (tendríamos los cinco dedos de la mano extendidos y ninguno cerrado). Pero no se suele mencionar que también vale para estos números porque precisamente la tabla del 5 y del 10 no suelen presentar problema alguno para los alumnos, con lo que no se ven en la necesidad de tener que emplear este “truco” de los dedos.
Una última cosa. Ahora, cuando os digan eso de “Piensa un número, súmale 10, multiplícalo por 2, réstale 6… ¿te ha salido…?” Si queréis comprobar por qué “sale” ese resultado que os dicen, penséis el número que penséis, podéis hacer lo mismo que hemos hecho aquí, le llamáis x al número que tenéis que pensar y vais “fabricando” vuestra expresión algebraica con los pasos que os van diciendo.
Os dejo este enlace a uno de esos “trucos” por si queréis animaros a demostrar por qué “sale”…
Eso sí, mucho ojo con agrupar bien las operaciones, no pasa nada si utilizáis más paréntesis de la cuenta para estar bien seguros o seguras.
Esta entrada participa en la Edición 6.8: “El número 26” del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.
¡Ah!
Antes de que os vayáis.
Ya que esta Edición del Carnaval de Matemáticas se llama “El número 26”, os invito a que le echéis un ojo a esta entrada del blog que cuenta alguna que otra curiosidad sobre este número, no poco peculiar…
Puzzle Bobble
Karate Blazers
Puzzle De Bloques
Magical Cat Adventure