Progresión geométrica… ¡Aquí hay mucha razón!

Esto que acabo de poner es un ejemplo de progresión geométrica.

¿No te fías de mí?

¿Que cómo sabes si es una progresión geométrica?

Quizás tendría que haber empezado explicando qué es una progresión geométrica.

No es otra cosa que una sucesión en la que cada término (excepto el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número o cantidad fija que llamamos razón.

Que lo de antes es una sucesión parece claro (o al menos de números), porque son números dispuestos uno a continuación de otro, pero vamos a ver si se cumple eso de que cada término se obtiene multiplicando el anterior siempre por el mismo número (la razón)...

Pues sí, cada término lo obtenemos multiplicando el que va justo antes por 2, y ocurre siempre. Luego efectivamente es una progresión geométrica y además de razón 2.

Antes de seguir contándote más cosas (esto es solo el comienzo) voy a hacer algo que nos gusta mucho en matemáticas y que es expresar todo esto "con letras".

¡Ya estamos con las letras!

Créeme que nos va a ser útil, porque así las conclusiones que saquemos nos valdrán para cualquier caso de forma general, y no solo para uno en particular.

Los términos de la progresión los vamos a identificar con una con un subíndice que indica la posición del término en la progresión. Así será el primer término de la progresión, el segundo, el tercero... el término de la progresión que ocupa la posición 20...

Si es una progresión geométrica hemos dicho que cada término (excepto el primero, ) se obtiene multiplicando el anterior por la razón, que vamos a designar con la letra . Es decir...

...

O, lo que es equivalente:

Y esto que acabamos de deducir es una de las formas (no es la única) que tenemos de calcular la razón en una progresión geométrica:

Cuando conocemos dos términos consecutivos de una progresión geométrica podemos calcular la razón de la progresión dividiendo el término que va después por el inmediato anterior.

Volviendo a la progresión geométrica con la que empezamos...

efectivamente se cumple que:

Bueno, ya tenemos claro que multiplicando a partir del primer término () sucesivamente por la razón ( r) se van obteniendo los términos de la progresión geométrica...

Pues sabiendo esto podemos, por ejemplo, calcular el quinto término () a partir del segundo () directamente sin tener que calcular previamente ni a, ya que al avanzar 3 posiciones (5 - 2 = 3) lo que hacemos es multiplicar tres veces por la razón ( r · r · r = )...

O, por ejemplo, calcular el octavo término () a partir del tercero (), ya que como avanzamos 5 posiciones (8 - 3 = 5) multiplicamos cinco veces por la razón ( r · r · r · r · r = )...

Y esto que acabamos de deducir es realmente útil a la hora de trabajar con progresiones geométricas, porque nos permite calcular un término cualquiera de la progresión a partir de otro conociendo la razón (r), sin necesidad de que sean consecutivos.

ambos términos se relacionan a través de la razón (r) de la forma:

Es lo mismo que hemos visto en los dos ejemplos anteriores pero generalizando.

Pero lo que es mejor aún es que esta expresión nos permite calcular la razón (r) conociendo dos términos cualesquiera de una progresión geométrica (y), ya que si sustituimos a y por sus valores, y p y q por sus posiciones correspondientes, tenemos una ecuación en la que la única incógnita es r (la razón).

Y todo esto que acabamos de ver lo podemos utilizar para definir la expresión del término general de una progresión geométrica (a_n), que nos permite calcular cualquier término de la misma:

Si te fijas he utilizado como término de partida el primer término (), aunque podría haber empleado cualquier otro, pero se suele hacer así ya que es el único término de la progresión geométrica que viene fijado de inicio y no se obtiene a partir de ninguno anterior.

Volviendo a la progresión...

en la que hemos visto que r = 2 y a₁ = 1, el término general de la misma será:

y, como he comentado antes, con esta expresión podemos calcular ahora el término de nuestra progresión geométrica que queramos, sustituyendo simplemente n por la posición que ocupa dicho término.

Por ejemplo:

y así los que queramos.

Bien, ya sabemos obtener la razón de una progresión, calcular términos de la misma y obtener la expresión del término general.

Antes de explicarte algo más sobre las progresiones geométricas...

... ¿Recuerdas la leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo?

¿No la conoces?

Es la historia en la que el rey Sheram ofrece en agradecimiento a Sissa, que al descubrirle el juego del ajedrez había conseguido aliviar en buena parte la pena que tenía por la pérdida de su hijo, una recompensa. Y éste le pide un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez, dos granos por la segunda casilla, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta... y así (en cada casilla el doble de granos que en la casilla anterior) hasta completar las 64 casillas del tablero.

¿Os suenan esos números?

Son los de nuestra progresión geométrica...

Lo sorprendente de la historia de Sissa es el total de granos de trigo de la recompensa que pidió que, pareciendo que no iba a ser mucho, fue de 18.446.744.073.709.551.615 granos (casi dieciocho trillones y medio).

Pues bien, vamos a deducir una expresión que nos permita calcular la suma de n términos de una progresión geométrica (S_n) y así calcularemos nosotros mismos de forma inmediata esa enorme cantidad de granos de trigo. Cálculo que en la historia le llevó cerca de un día hacerlo a la corte de matemáticos del rey.

Podría "plantar" aquí directamente la fórmula, pero me interesa que sepas de dónde sale.

Yo quiero calcular la suma de n términos de una progresión geométrica (S_n), que puedo expresar como:

Si multiplico los dos miembros de la expresión anterior por r, obtengo:

¿Por qué hago esto?

Sacando factor común ...

y despejando, obtenemos:

y, sacando factor común :

¡Estupendo!

¡Ya sabemos hacer otra cosa más!

¿Calculamos ahora el total de granos de trigo del tablero de ajedrez?

La razón la sabemos, , el número de términos es (son 64 casillas), y el primer término de la progresión geométrica es a₁ = 1, así que la suma total será:

Y este cálculo, dado que una calculadora científica normal no tiene precisión suficiente y nos va a aproximar la solución por redondeo, podemos por ejemplo hacerlo utilizando WolframAlpha

Obteniendo el resultado que ya conocíamos:

Está claro que hemos tardado bastante menos que si hubiésemos tenido que calcular los granos de cada casilla y sumarlos después todos, como les ocurrió a los matemáticos de la corte del rey Sheram.

Bien, ya sé que hemos visto bastantes cosas sobre las progresiones geométricas, pero permíteme que te cuente una más, que es bastante interesante.

Como hemos podido observar con los valores de los términos de nuestra progresión geométrica y, sobre todo, con la magnitud del resultado de la suma de términos que hemos obtenido, a medida que vamos obteniendo términos de la progresión el valor absoluto de éstos crece considerablemente.

Si ha ocurrido con una progresión con razón r = 2 imagina con una razón que sea bastante mayor.

Pero no siempre va a ser así.

De hecho, si el valor absoluto de la razón r es menor que 1:

O, lo que es lo mismo...

cada vez que multiplicamos por r para calcular un nuevo término de la progresión, lo estamos haciendo por un número que es menor en valor absoluto que la unidad, con lo que el resultado es un término de valor absoluto más pequeño que el anterior.

Lo vemos con un ejemplo.

...

...

Es decir, a medida que crece el número de términos que consideramos, el valor de éstos va disminuyendo hasta convertirse prácticamente en 0.

Si ahora nos vamos a la expresión que vimos de la suma de n términos de una progresión geométrica (S_n)...

si n→∞ entonces, tal y como hemos visto, , anulándose el segundo término del numerador...

De manera que podemos calcular la suma de "todos" los términos de una progresión geométrica con -1 < r < 1 mediante la expresión:

Ojo que solo podemos hacer esto si -1 < r < 1, pues de no ser así ya hemos visto que la suma no converge a ningún valor (es mayor cuantos más términos consideramos) y tan solo podremos calcular la suma para un número concreto de términos de la progresión ().

Bueno...

¿Qué tal?

Espero que hayas entendido bien todo esto que te he contado sobre las progresiones geométricas. Es fundamental comprenderlo para saber utilizarlo correctamente y poder resolver cualquier tipo de ejercicio.

Piensa que son "herramientas" que tienes y que, como tales, debes saber cuál de ellas utilizar según lo que necesites en cada momento.

Puede parecer que son muchas cosas, pero en realidad no lo son. Te las resumo:

Por si te ha quedado alguna duda... ¿Quieres que veamos unos ejemplos?

En la siguiente progresión geométrica:

4, 12, 36, 108, ... Calcular el término general de la progresión (a_n) y la suma de los 10 primeros términos (S₁₀).

Lo primero que tenemos que hacer es calcular la razón () de la progresión, pues no nos la dan directamente, y de paso comprobamos que efectivamente es una progresión geométrica:

Nos piden calcular el término general () cuya expresión es:

La razón ya la hemos calculado, , y el primer término () nos lo dan en el enunciado (es el primero que aparece en la progresión), Sustituyendo, tenemos que:

Esta es la expresión del término general de esta progresión geométrica. Con él, como ya comentamos, podemos calcular cualquier término de la misma.

Como comprobación vamos a calcular, por ejemplo, el tercer término ():

que efectivamente coincide con el tercer término de la progresión que nos dan.

Ahora vamos a calcular lo otro que nos piden: la suma de los 10 primeros términos ().

sustituímos n por 10 (queremos calcular los 10 primeros términos), r por 3 ( r = 3), y a₁ por 4 ( a₁ = 4), obteniendo:

que es la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica que nos dan.

Calcula el término general (a_n) y la suma de los 8 primeros términos (S₈) de una progresión geométrica de razón r = 4 y quinto término a₅ = 256.

En este caso la razón nos la dan como dato ( r = 4), así que no tenemos que calcularla.

Nos piden calcular el término general () cuya expresión es:

Para poder hacerlo, necesitamos calcular primero a₁.

En nuestro caso concreto:

Y, despejando y operando...

Si te fijas, lo que hemos hecho en definitiva es dividir el quinto término cuatro veces por la razón para ir cuatro pasos atrás en la progresión y llegar así al primer término.

Ahora ya sí podemos calcular la expresión del término general (a_n) que, con y r = 4, será:

Para calcular la suma de los 8 primeros términos (S) de la progresión geométrica, partimos de la expresión de S ...

Calcula el término general (a_n), la suma de los 5 primeros términos (S₅) y la suma de todos los términos (S) de una progresión geométrica de términos positivos con a₁ = 1 y a₃ = 1/4.

Como nos ocurrió con el primer ejemplo, no nos dan como dato la razón ( r), así que es lo primero que tenemos que calcular.

Como no conocemos dos términos consecutivos (los que tenemos son el primero y el tercero) no podemos dividir un término de la progresión por su inmediato anterior para obtener la razón, pero sí podemos utilizar la expresión que relaciona dos términos cualesquiera de la progresión por medio de la razón ( r):

Lógicamente los dos términos que vamos a utilizar son los que nos dan como dato (de hecho no podemos hacer otra cosa) y en la ecuación que nos quede la única incógnita será la razón ( r) que es lo que queremos calcular...

y despejando y operando, tenemos:

Un detalle: Fíjate que he considerado de las dos posibles soluciones (positiva y negativa) la positiva, y lo he hecho porque nos dicen que se trata de una progresión geométrica de términos positivos. Si hubiese considerado la negativa, los términos de la progresión serían positivos o negativos alternativamente.

Pues ya tenemos la razón () y también el primer término () que nos lo dan como dato, así que podemos ya obtener la expresión del término general () de la progresión geométrica, que es lo primero que nos piden:

Bien, una cosa menos.

Vamos a calcular ahora la suma de los 5 primeros términos (S₅) de la progresión.

Partimos de la expresión de la suma de n términos ():

y sustituimos en ella n por 5 (son los 5 primeros términos los que queremos sumar) y y r por sus valores conocidos (y r = 1/2), obteniendo:

En este cálculo que acabamos de hacer, lo que sí que debes tener es mucho cuidado a la hora de realizar las operaciones con fracciones, que es donde se suelen cometer más errores.

Observarás también que he rodeado en rojo una parte: el paso de una fracción compuesta a una fracción simple. Si no tienes claro cómo se hace este paso, puedes verlo explicado en esta otra entrada del blog titulada "Fracciones compuestas... no digas que no, porque sí sabes hacerlo".

Pues ya solo nos queda calcular la suma de todos los términos (S o S∞) de la progresión.

La fórmula para hacerlo ya la vimos, era muy sencilla:

c'est fini!

Confío en que con estos tres ejemplos que hemos hecho te haya quedado todo más claro aún.

Y ya para terminar, te dejo con otra curiosa serie geométrica: la que se da cuando doblamos un papel repetidas veces por la mitad...

¿Cuántos dobleces crees que tendrías que hacer a un papel para llegar a la luna?

Te lo cuento en esta entrada del blog "Dame un papel y te llevaré a la luna... (solución y más)"...

Espero como siempre que esta entrada te haya gustado y, sobre todo, que te sea muy útil.

Sobre las imágenes empleadas: La primera y última imágenes de esta entrada están tomadas de la red sin encontrar referencia a autoría, por eso no la indico (si alguien la conoce con certeza que me lo comente por favor para incluirla). El resto de imágenes utilizadas son de mi propia autoría, incluido el dibujo del "Capitán Extremadura" utilizado para mostrar el comportamiento de las series geométricas.