¿Qué rectángulo tiene mayor área? Un problema de comparar áreas

Te planteo el siguiente problema de geometría:

Siendo ABCD un rectángulo, y E un punto situado en una de sus diagonales tal y como se indica en la figura anterior, ¿qué rectángulo tiene mayor área, AIEG (el rectángulo naranja) o EHCF (el rectángulo azul)?

Piénsalo, es bastante sencillo…

¿Lo tienes ya?

Pues vamos a ver la SOLUCIÓN…

 Partimos de algo bastante conocido, que es que la diagonal DB divide al rectángulo ABCD en dos triángulos que tienen áreas iguales.

Esto significa que:

ÁREA _ABD = ÁREA _BCD

Dicha diagonal DB también pasa por las diagonales de los rectángulos GEFD e IBHE, que los dividen a ambos en triángulos de igual área.

Es decir:

ÁREA _GED = ÁREA _{EFD   y}  ÁREA _IBE = ÁREA _BHE

Por otro lado sabemos que el área de cada uno de los triángulos grandes (ABD y BCD) se puede descomponer como suma de las áreas de los dos triángulos y del rectángulo contenidos en ellos. Es decir:

ÁREA _ABD = ÁREA _AIEG + ÁREA _GED + ÁREA _IBE

ÁREA _BCD = ÁREA _EHCF + ÁREA _EFD + ÁREA _BHE

Y, dado que hemos visto que ÁREA _ABD = ÁREA _BCD, ÁREA _GED = ÁREA _EFD y ÁREA _IBE = ÁREA _BHE , comparando ambas expresiones, no queda otra opción que las áreas de los rectángulos AIEG y EHCF sean iguales.

ÁREA _AIEG = ÁREA _EHCF

Es decir, contestando a la pregunta que se nos hace de qué rectángulo de los dos coloreados (naranja y azul) tiene mayor área, podemos afirmar que ambos tienen el mismo área.

Y esto lo hemos hecho sin tener medidas ni hacer cálculos numéricos, que es lo verdaderamente interesante del problema.

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