¿Qué relación hay entre derivadas e integrales?

Esto viene a ser la respuesta a unas dudas planteadas por un amable lector. Tres prevenciones: la primera: trataré de evitar los cálculos, la segunda: puedo dar por sabidas algunas cosas con lo que el razonamiento puede sonar raro, y por último: puedo inducir a error, cosa que es muy graciosa cuando hablamos de matemáticas y el error no es una opción (no así si hablara de filosofía, donde el error es bueno y en cuyas facultades no se usan gomas de borrar).

Preguntar sobre la relación entre derivación e integración es preguntar sobre el Teorema Fundamental del Cálculo (o Primer Teorema Fundamental del Cálculo). Muy resumido, nos dice que si integras la primitiva de una función, te devuelve la función original. Bien, esto no es siempre cierto. Mayormente porque la derivada de una constante es cero (una función constante es una función que no cambia, o que su cambio es cero. La pendiente en todos sus puntos es cero).
Constante de integración
Cuando a una función le sumas una constante (por ejemplo "2"), lo que haces es subirla dos peldaños en el eje de ordenadas. La variación de la función (máximos y mínimos, continuidad, etc) no cambia, sólo la has subido. También hay que recordar que toda integral (indefinida, aunque ahora este adjetivo nos da igual) lleva un "+ C" en su resultado, ya que si se puede derivar una función, todas las funciones iguales sumadas por constantes tienen la misma derivada (cambian al mismo ritmo, no importa a qué altura).


Integrales imposibles
Otra forma en que se relacionan integración y derivación aparece cuando te presentan funciones que "no se pueden integrar". Este caso es el que más relacionado está con la interpretación geométrica de la relación entre derivación e integración. Hay funciones que no pueden ser primitivas de otras funciones. Por ejemplo, seno de equis al cuadrado (senx²). Derivar una función nunca te va a dar como resultado senx². Por lo tanto, senx² no lo puedes integrar.
Ay amigo, pero sabiendo que las integrales son áreas bajo la curva, hay una forma de aproximarnos a un resultado. Recordad a Arquímedes midiendo superficies bajo parábolas. En este caso está la llamada Regla de los Trapecios.

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La parte inclinada de los trapecios es como si fueran polinomios de grado 1 por trozos. Hay otra regla que que tiene menos error, la Regla de Simpson, que trata de aproximar la integral usando polinomios de grado 2. Los errores esperados de ambas reglas se pueden calcular y comparar (cuantos más intervalos cojas, menor será el error, de aquí salen muchos temas de Métodos Numéricos, disciplina hija del Cálculo). Después de meses dejándote la salud haciendo integrales, te enseñan estas reglas y es como volver a 7º de EGB. La de ruedas pinchadas que se han llevado ineptos profesores de Cálculo por culpa de Thomas Simpson (1710-1761).
Integrales impropias
Esto no sé si está relacionado de forma concreta con la relación entre derivación e integración. Pero como la relación intrínseca entre estos conceptos se refleja en el Teorema Fundamental del Cálculo y la demostración de este teorema aparece en cualquier libro de Cálculo, voy a hablar de lo que sucede cuando el intervalo sobre el que queremos calcular un área no es finito. Oh, diréis, el área bajo una curva infinita es siempre infinito. Pues no, pero si queréis, idos a Filosofía y Letras que allá os dirán que sí.
El área bajo la curva de una función entre a e infinito, es igual al límite del área de esa función entre a y b cuando b tiende a infinito. Luego para resolver estas integrales, se integra entre a y b y a continuación se calcula el límite necesario. El área de 1/x² entre 1 e infinito es 1. El área de 1/(x²+1) entre 0 e infinito es π/2, etc.
¿Por qué son así las cosas?
Estoy dando vueltas al teorema que relaciona derivación e integración (y continuidad, pero no quiero liar al personal). Aún así no he respondido a qué relación hay entre el área bajo la curva y el ritmo de cambio de esa curva. Esta es una cuestión de Geometría Analítica y es una consecuencia del Teorema Fundamental del Cálculo. Yo creo que es evidente que según como cambie una función, así lo hará el área bajo su curva. Gente muy lista que usaba peluca descubrió que existía esta relación. Es un teorema. Los teoremas se demuestran y sus demostraciones son sólidas. De hecho, suelen ser ejercicios que se ponen a los estudiantes. Como digo, el Fundamental del Cálculo se encuentra en cualquier libro de matemáticas.
Rápidamente y sin ecuaciones:
Por un lado, calculamos la pendiente de la recta tangente como una aproximación que parte de la pendiente de la recta secante. Por el otro, calculamos el área bajo la curva como una aproximación del área del rectángulo.
Y esto, amigos, es lo que hace posible los viajes espaciales.