¿Se puede elegir un número al azar?

O, dicho con más precisión: ¿es posible elegir un número al azar de manera que cada número tenga las mismas probabilidades de salir?

Si tengo un número finito de números, sí es posible. Cada uno puede ser elegido con probabilidad 1/n, donde "n" es el número de números que tengo. Puedo elegir entre 2, 4 y 8 (tres números) cada uno con probabilidad 1/3.

Si tengo un número infinito ya no es posible. No hay manera de elegir entre los números naturales 0, 1, 2, 3,.... de manera equiprobable. Si así fuera, no podría ser una probabilidad positiva, porque, al multiplicarla por infinitos números, daría infinito, y la probabilidad total debe sumar uno. No puede ser cero, porque, multiplicado por infinito no me da nada definido (no está definida la operación), y debería dar uno y no otra cosa.

Cuando, en la entrada anterior, Bruno suponía (era un suponer) que en su sobre había un 4 y asignaba las mismas probabilidades a que el otro sobre hubiera un 2 o un 8 no cometía ningún error. Eso podía ser perfectamente posible. Pero suponer que el mismo razonamiento lo podía hacer con cualquier otro número (que el otro sobre tuviera la mitad o el doble con iguales probabilidades) es ya imposible.

Si supone que, para cualquier número, la probabilidades de que el otro sobre tenga el doble o la mitad son iguales está suponiendo que las probabilidades de los números ... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16,... son idénticas, y eso no puede ser.
¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128 a 1/8,.... Esa, o cualquier otra cuyas probabilidades sumen 1.

No es difícil demostrar que, con cualquier distribución de probabilidades, la ganancia esperada de cambiar es exactamente la misma que de no cambiar. Podéis ver ejemplos sencillos en los últimos comentarios de Pedro Terán en la entrada anterior. También podéis leer mi explicación de hace unos años en una página de matemáticas recreativas.